Série de fourier

par **thedream01** » 04 Mai 2007, 10:38

Bonjour,
voici mon problème:
On doit dire si cette assertion est vraie ou fausse:
si f et g sont deux foctions de R dans R, 2*Pi periodique et continues et si Cn(f)=Cn(g) pour tout n dans Z, alors f=g sur R.

Comme contre exemple, j'ai donné les fonctions constantes sur R: f=0 et g=1.
ça marche non?
merci d'avance.

par **tize** » 04 Mai 2007, 11:17

Bonjour,
c'est vrai : Si deux fonctions intégrables ont même coefficients de Fourier alors elles sont égales presque partout, ici les deux fonctions sont continues

périodiques elles sont donc égales partout.

par **thedream01** » 04 Mai 2007, 11:24

C'est bien ce qu'il me samblait, mais je ne vois pas où est l'erreur dans le contre exemple que j'ai donné?!
Est-ce que ça serait possible d'avoir une démonstration de ça?
Merci

par **alben** » 04 Mai 2007, 11:43

bonjour,
leurs coefficients pour n=0 ne sont pas égaux ! :we:

par **thedream01** » 04 Mai 2007, 11:47

ah oui! merci...je l'avais oublié lui!
Pour la démo, il suffit de montrer que Cn est linéaire. Donc Cn(f-g)=0, donc f=g. c'est ça?

par **serge75** » 04 Mai 2007, 16:48

Faux, dream, tu utilises l'injectivité de Cn, qui est fausse.
Une preuve est possible avec Parseval :
Soit h=f-g. Comme la norme quadratique est une norme sur l'espace des fonctions CONTINUES et T-périodique, Parseval t'indique que la norme de h est nulle et partant de cela que h=0, d'où f=g.

par **thedream01** » 04 Mai 2007, 16:53

oui oui, c'est ce que j'ai fait:
J'ai montré que Cn est linéaire puis j'ai utilisé Parseval...
En fait j'ai dit que: Cn(f)-Cn(g)=0 <=> Cn(f-g)=0 car Cn est linéaire.
Puis j'ai appliqué Parseval à h=f-g.
Merci...

par **B_J** » 04 Mai 2007, 17:17

Bonjour ;
la valeur de l'integrale ne change pas si on modifie la valeur d'une fonction en un nombre fini de points

par **thedream01** » 04 Mai 2007, 17:24

il me semble même qu'elle ne change pas si on modifie la valeur de la fonction en un ensemble dénombrable de point non???
mais quel est le rapport?

par **B_J** » 04 Mai 2007, 17:28

f(x)=x² sur [a,b] ; b>a>0
g(x)=x² si x non nul et g((a+b)/2)=0 par exemple
ont les memes coeffs de Fourier mais elles sont differentes

par **fahr451** » 04 Mai 2007, 17:30

y a pas de périodicité ds ton exemple bj ?

par **B_J** » 04 Mai 2007, 17:35

fahr451 a écrit:y a pas de périodicité ds ton exemple bj ?

on prolonge f et g sur R par periodicité bien sur !

par **fahr451** » 04 Mai 2007, 17:37

heu

si [a,b] n'est pas de longueur 2pi c'est soit impossible soit pas unique

par **B_J** » 04 Mai 2007, 17:38

thedream01 a écrit:...et continues...

au temps pour moi
j'avais pas vu l'hypothese de continuité

par **B_J** » 04 Mai 2007, 17:39

fahr451 a écrit:heu

si [a,b] n'est pas de longueur 2pi c'est soit impossible soit pas unique

la periode importe peu puisque on peut se ramener a ce cas via un chgt de variable

par **fahr451** » 04 Mai 2007, 17:42

bon alors b-a périodique entendu

mais ne sont pas continues

il y a bien égalité PRESQUE PARTOUT

par **B_J** » 04 Mai 2007, 17:44

fahr451 a écrit:bon alors b-a périodique entendu

mais ne sont pas continues

il y a bien égalité PRESQUE PARTOUT

tout a fait d'accord :ptdr:

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