Bonjour,
J'ai une question que je n'arrive à résoudre:
Calculer la valeur exacte de
cos( 2 pi/5) et cos( 4 pi/5) :help:
Nombres complexes et trigo
2 messages
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par tize » 04 Mai 2007, 15:26
Bonjour,
on pose
(X-\xi^2)(X-\xi^3)(X-\xi^4)(X-1)=(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1))
puis:
(X-\xi^4)=X^2-2\cos\frac{2\pi}{5}X+1)
et
(X-\xi^3)=X^2-2\cos\frac{4\pi}{5}X+1)
donc :
=(X^2-2\cos\frac{2\pi}{5}X+1)(X^2-2\cos\frac{4\pi}{5}X+1))
Par identification du monôme de degré 2 on a :
Par identification du monôme de degré 1 on a:
Conclusion :
et 
sont solutions de l'équation : 
qui sont (grâce au discriminant) : 
et 
on pose
Par identification du monôme de degré 2 on a :
Par identification du monôme de degré 1 on a:
Conclusion :
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