équations différentielles second ordre

par **theluckyluke** » 30 Avr 2007, 18:50

Salut tout le monde,

j'ai une question simple sur les équations différentielles du second ordre

Réoudre :

fixé,

L'équation caractéristique

admet deux solutions complexes non réelles :

et

J'ai la solution mais je ne comprend pas comment l'obtenir. Pourriez-vous me dire comment faire?

Merci beaucoup!

par **fahr451** » 30 Avr 2007, 19:13

bonsoir
tu veux dire la résolution explicite ?

par **theluckyluke** » 30 Avr 2007, 19:28

si c'est possible oui

par **fahr451** » 30 Avr 2007, 19:34

il y a plein de méthodes

en voici une

on vérifie que
f0(x) = exp (i w) est solution
ensuite on cherche toutes les solutions sous la forme

f = gf0 ce qui est possible car f0 ne s'annule pas

pour f deux fois dérivable on peut bien définir g par g = f /f0

g est alors deux fois dérivable

on dérive:

f ' = gf '0 +g'f0
f " = g f "0 + 2g ' f '0 + g " f0

f est solution ssi :
(je te laisse écrire l équation différentielle vérifiée par g; le terme en g est nul car f0 est sol)

on a donc en posant z = g ' une équation du premier ordre en z et ça tu sais la résoudre

par **theluckyluke** » 30 Avr 2007, 19:36

en fait, je sais que la solution est de la forme

par **theluckyluke** » 30 Avr 2007, 19:41

fahr451 a écrit:il y a plein de méthodes

en voici une

on vérifie que
f0(x) = exp (i w) est solution
ensuite on cherche toutes les solutions sous la forme

f = gf0 ce qui est possible car f0 ne s'annule pas

pour f deux fois dérivable on peut bien définir g par g = f /f0

g est alors deux fois dérivable

on dérive:

f ' = gf '0 +g'f0
f " = g f "0 + 2g ' f '0 + g " f0

f est solution ssi :
(je te laisse écrire l équation différentielle vérifiée par g; le terme en g est nul car f0 est sol)

on a donc en posant z = g ' une équation du premier ordre en z et ça tu sais la résoudre

ok je vois, je vais essayer je te dit si c'est bon

par **fahr451** » 30 Avr 2007, 19:43

remarque j 'ai fait la résolution pour les fonctions à valeurs complexes

ensuite pour les sols réelles il faut encore un peu travailler

par **theluckyluke** » 30 Avr 2007, 20:18

juste pour essayer avec une méthode autre...
bon, j'ai juste abordé ça aujourd'hui donc c'est carrément tout neuf, donc dsl des absurdités qui vont suivre...

Résoudre

Avec l'équation caractéristique

on trouve

et

Donc les solutions sont de la forme :

avec

et

constantes réelles

Est-ce que déjà ça c'est juste?

par **Franck75019** » 30 Avr 2007, 21:03

Exact, maintenant tu pourras retrouver des sin et cos en utilisant leurs expressions avec les exponentielles complexes

par **nuage** » 30 Avr 2007, 23:10

Salut,

theluckyluke a écrit:juste pour essayer avec une méthode autre...
bon, j'ai juste abordé ça aujourd'hui donc c'est carrément tout neuf, donc dsl des absurdités qui vont suivre...

Résoudre
Avec l'équation caractéristique on trouve et

Donc les solutions sont de la forme : avec et constantes réelles

Est-ce que déjà ça c'est juste?

si on veut une fonction réelle il vaut mieux que que

et

soit des constantes complexes bien choisies.

par **fahr451** » 30 Avr 2007, 23:11

où est la preuve ?

jet 'ai donné une preuve

par **theluckyluke** » 01 Mai 2007, 13:38

Résoudre
Avec l'équation caractéristique on trouve et

Donc les solutions sont de la forme : avec et constantes réelles

Est-ce que déjà ça c'est juste?

bon bah puisque c'est bon, je continue :

Donc les solutions sont de la forme :

avec

et

Le truc que je ne comprend pas, c'est que la solution (elle est donnée) est :

Mais la où j'arrive, je n'ai pas

c'est pour ça que cela me gène

par **theluckyluke** » 02 Mai 2007, 14:58

quelqu'un pourrait-il me confimer ou m'expliquer?

merci

par **fahr451** » 02 Mai 2007, 15:03

fahr451 a écrit:il y a plein de méthodes

en voici une

on vérifie que
f0(x) = exp (i w) est solution
ensuite on cherche toutes les solutions sous la forme

f = gf0 ce qui est possible car f0 ne s'annule pas

pour f deux fois dérivable on peut bien définir g par g = f /f0

g est alors deux fois dérivable

on dérive:

f ' = gf '0 +g'f0
f " = g f "0 + 2g ' f '0 + g " f0

f est solution ssi :
(je te laisse écrire l équation différentielle vérifiée par g; le terme en g est nul car f0 est sol)

on a donc en posant z = g ' une équation du premier ordre en z et ça tu sais la résoudre

je t 'ai donné de longues explications sans réaction de ta part...

par **kazeriahm** » 02 Mai 2007, 18:10

toi tu cherches les solutions réelles de l'équation, alors que tu as vu qu'il en existait des complexes non réelles.

quand tu obtiens les solutions
y=Acos(wx)+Bsin(wx) comme tu l'as fait, il est équivalent de dire que
(A et B sont réels) et de dire que y est une fonction à valeur réelle.

et imposer à A et B d'etre réel c'est imposer des conditions sur C1 et C2, en l'occurence que C1=conjugué(C2)

par **theluckyluke** » 02 Mai 2007, 19:53

fahr451 a écrit:

f est solution ssi :
(je te laisse écrire l'équation différentielle vérifiée par g ; le terme en g est nul car est sol)

on a donc en posant z = g ' une équation du premier ordre en z et ça tu sais la résoudre

bon alors pour l'équation différentielle vérifiée par g, je trouve :

en revanche je ne comprend pas bien pourquoi tu écris, le terme en g est nul car

est solution...

je dirai : puisque

est solution, alors

???

est-ce que tu peux m'expliquer? merci beaucoup!

par **fahr451** » 02 Mai 2007, 20:17

ok je continue la résolution

f est solution ssi

f " +w^2 f = 0 ssi

g"f 0 +2 g' f ' 0 +g f "0 + w^2 g f0 = 0

ssi g " f0 + 2 g' f ' 0 + g ( f " 0 +w^2 f0) = 0 et puisque f0 est sol
ssi ( en posant z = g ' )

z ' f0 +2 z f ' 0 = 0 et une équation du premier ordre en z que tu sais résoudre

par **theluckyluke** » 03 Mai 2007, 22:06

ok je comprend mieux
je poste demain ce que je trouve

équations différentielles second ordre

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