Espaces vectoriels

[soriane]

Bonjour à tous
Je travaille sur le cours sur les espaces vectoriels et je ne suis pas sure des résultats des exos que j'ai fait.
Pourriez-vous me donner les démo de ces ex pour que je puisse comparer avec mes résultats?
Merci davance

1 - L'ensemble des vecteurs x=(x1,x2,x3) appartenant à R^3 tels que x1+2x2-x3=0 est il un sous espace vectoriel de R^3?

2 - Soit P l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels d'une variable réelle x. L'ensemble des polynomes p appartenant à P tels que "intégrale de 0 à 1 de p(t)dt =0 " est-il un sous espace vectoriel de P?

3 - Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps de scalaires K.
Montrer qu'on peut munir l'ensemble produit E*F d'une structure d'e.v. sur K.

4 - Soient E1 et E2 deux s.e.v. d'un e.v. E.
Montrer que E1+E2 = E1+entouré d'un rond E2
si et seulement si [x1+x2=0] équivaut à x1=x2=0

[Nightmare]

Bonjour

1- On note :


l'élément (0,0,0) est solution donc F n'est pas l'ensemble vide

Soit et deux éléments de F

Leur somme est alors

Or on a :

Ainsi x+y est dans F

De même, Soit un scalaire réel et un élément de F

On a alors :

Or :

est bien un élément de F

On en déduit que F est un sev de


jord

[Nightmare]

Pour la 2. utilise le fait que l'intégrale soit linéaire (c'est à dire que )


Jord

[Nightmare]

Pour le 3 ce n'est vraiment pas dur ... Utilises les définitions relatives aux lois sur les espaces vectoriels.

Pour le dernier euh .. tu as essayé au moin? regarde la définitions de deux sev en somme directe :roll:

[quinto]

1 - L'ensemble des vecteurs x=(x1,x2,x3) appartenant à R^3 tels que x1+2x2-x3=0 est il un sous espace vectoriel de R^3?

Si tu as une forme linéaire f non nulle, alors ker(f) est un espace vectoriel.
On a même une réciproque en ce sens que tout hyperplan d'un espace vectoriel est le noyau d'une unique forme linéaire non nulle f, à coefficient multiplicatif près. Même en dimension infinie.

2 - Soit P l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels d'une variable réelle x. L'ensemble des polynomes p appartenant à P tels que "intégrale de 0 à 1 de p(t)dt =0 " est-il un sous espace vectoriel de P?

Même réponse.

3 - Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps de scalaires K.
Montrer qu'on peut munir l'ensemble produit E*F d'une structure d'e.v. sur K.

C'est assez trivial, sert toi de la structure d'ev de E pour les éléments de E et de F pour les éléments de F. Notamment x est dans ExF ssi il existe e dans E et f dans F tels que x=(e,f) (par définition), là c'est trivial de répondre à la question.

4 - Soient E1 et E2 deux s.e.v. d'un e.v. E.
Montrer que E1+E2 = E1+entouré d'un rond E2
si et seulement si [x1+x2=0] équivaut à x1=x2=0

Revenir à la définition...
A+

[soriane]

merci à tous
en réponse à nightmare: bien sur que j'ai essayé!!!!!!!!!! comme je l'ai précisé, je voulais vérifier les exo que j'avais fait car je viens de voir ce chapitre et donc je ne suis pas sure d'avoir les bonnes justifications
mais effectivement, tu as raison, 3 et 4 se trouvent à partir des déf, mais comme j'ai fait du copié collé.....
à bientôt

[Nightmare]

de rien

La prochaine fois, joint tes éventuelles réponses aux problémes


jord