Théorème des polynômes annulateurs

[Youseph85]

Bonjour,

J'ai un problème de compréhension de la démonstration du thérorème des polynômes annulateurs, qui dit que F (un endomorphisme de V) est diagonalisable si et seulement si il existe un polynôme annulateur de F scindé et n'ayant que des racines simples.

La livre que je lis me dit que la condition est suffisante grâce au lemme des noyaux.

Exemple:

F^3=9F

Soit Q(X):=X^3-9X = X (X-3) (X+3)

Q(F)=0,

Alors:

V = Ker (F) + Ker (F-3id) + ker(F+3id) (somme directe)

V = E(F;0) + E(F;3) + E(F;-3) (somme directe des espaces propores)

==> F est diagonalisable

Or comment savons-nous que 0, -3, 3 sont exactement les valeurs propres de F? Je suis bien d'accord que le spectre de F soit inclu dans les racines de Q(X), mais il ne me semble pas que l'inverse soit de même (Q(X) n'étant pas le polynôme caractéristique)

Merci de votre réponse,

Damien :we:

[fahr451]

bonsoir

tu as raison rien ne dit que le spectre est exactement {-3,0,3}
de deux choses l'une
soit aucun des noyaux considérés est réduit à {0} et on a bien V égal àla somme des trois sous espaces propres(dans cecas les trois nombres sont bien valeurs propres)

soit aumoins un des noyaux est réduit à{0} le nombre n'est pas valeur propremais V reste égal à la somme des deux autres noyaux (dont l'un est peut être encore nul)

dans les deux cas l'endo est diagonalisable

[Youseph85]

Merci :we:

Hum la prochaine fois faudra que je réflechisse un peu plus quans même :briques: