Image a partir d'une matrice.

[muse]

Bonsoir tout le monde.

Voila j'ai un doute et j'aimerais que vous me l'enleviez.

Soit f l'application lineaire de R 4 dans R3 dont la matrice relaticement aux bases canoniques est :



Est ce que Im (f)= Vect( (1,2,2) (2,1,4)) ?

Je dis cela car en utilisant le pivot de gausse en faisant des calcule elementaire je trouve



Il y a deux pivots sur la colonne 1 et 2 alors je prends les vecteurs de la colonne 1 et 2 de la matrice de depart.


Ensuite on me demande de trouver une base de im (f)
Je pense que B est une base de im (f) si B=((1,2,2) (2,1,4))

Ensuite on me demande quel est le rang de A
Je pense que c'est 2 car il y a 2 pivots.

Merci infiniment

[alecs20]

En fait pour la base avec ta matrice echelonne ecris lensemble de tes solutions:

X = ( -x4-(x4-x3)/-3, (x4-x3)/-3, x3, x4 ) ou x3 et x4 variables libres

factorise x3 et x4 et tu obtiendra deux vecteurs, qui sont, sauf erreur de calcul, (-2,1,1,0) et (-1/3,-1/3,0,1). Voila ta base.

[muse]

Mais c'est pas la base du noyau ça ?

[alecs20]

Tout a fait. Desoler javais lu rapidement.

Si tu as une application lineaire T(x)=y, alors tu peux trouver la base du noyau quand T(x)=0. Si tu veux trouver la base de l'image alors c'est exactement ce que tu as fais. En fait cest que tu construit une matrice avec le cote gauche etant A et le cote droit etant y1,y2 et y3, et tu en trouve la base. Ton rang aussi est bon. Tu peux soit regarder les pivots comme tu as fait, ou aussi utiliser la formule dim(noyau) + dim(image) = n. Ici ton espace de depart est R4 donc n = 4, et la base du noyau est de dimension 2, donc tu sais que ton image sera aussi de dimension 2.

Desole pour l'erreur de lecture.

[muse]

Aucun probleme pour l'erreur ;)

Merci beaucoupde ton aide.

Merci

[alecs20]

Pas de probleme. :zen: