Fractions égyptiennes

[mathelot]

Bonjour,

voiçi le 3ième exo des olympiades de classe de 4ième de cette année 2007.
ça parle de fractions égyptiennes :zen: !!

1. On sait que .
Est-il possible de trouver des entiers naturels distincts a et b tels que


2. Trouver deux entiers naturels distincts a et b tels que .

3. Trouver trois entiers naturels distincts a,b ,c tels que .

4. Même question pour quatre entiers naturels distincts tels que .

5. Comment peut on choisir dix entiers naturels tous distincts tels que la somme de leurs inverses soit 1 ?

Même question si l'on veut choisir 2007 entiers naturels distincts. :doh:

[mathelot]

alors les enfants ? :zen: je suis bête, ils dorment depuis belle lurette
à cette heure tardive...

[mat59]

1) le seul entiers naturel c'est 2

2) 1/a+1/b=1/2
1/4+1/4=2/4=1/2

3)1/a+1/b+1/c=1
1/3+1/3+1/3=3/3=1

4)1/a+1/b+1/c+1/d=1
1/4+1/4+1/4+1/4=4/4=1

5) on peut choisir dix entiers naturels distincts en comtant le nombre de fration et de l'introduire dans le dénomirateur.

Donc si tu choisis 2007 entiers naturels distincts c'est à dire qu'il y aura 2007 fraction avec comme chiffre au dénominateur 2007
ex: 1/2007+1/2007+etc...1/2007=2007/2007=1

[mathelot]

bonjour,

c'est plus difficile que ça. :triste: On s'intéresse à des fractions toutes différentes telles que leur somme vaillent 1.


vaillent=subjonctif du verbe valoir.
valoir 1 = être égale à 1.

[mathelot]

pour la 1. il suffit de montrer que c'est impossible. :zen: Il y a une ruse. creusez vous la tête. :doh:

[yvelines78]

bonjour,

1/a+1/b=(b+a)/ab
donc b+a=ab
posons b>a,
a=0, alors b=0, les nombres sont distincts
a=1, b+1=b soit +1=0 impossible
a=2, b+2=2b soit 2=2b-b=b, a et b ne sont pas distincts
a=3, b+3=3b, 2b=3, b=2/3 pas un entier
a=4, b+4=4b,3b=4, b=4/3 pas un entier
a=5, b+5=5b, 4b=5, b=5/4
a=6,b=6/5
a=7, b=7/6
a=8, b=8/7
a=9, b=9/8
a=10, b=10/9
---->impossible

[mathelot]

quelqu'un a t il une idée pour la 1. ? :cry: une méthode moins bovine.

[Clembou]

Bonjour,

voiçi le 3ième exo des olympiades de classe de 4ième de cette année 2007.
ça parle de fractions égyptiennes :zen: !!

1. On sait que .
Est-il possible de trouver des entiers naturels distincts a et b tels que


2. Trouver deux entiers naturels distincts a et b tels que .

3. Trouver trois entiers naturels distincts a,b ,c tels que .

4. Même question pour quatre entiers naturels distincts tels que .

5. Comment peut on choisir dix entiers naturels tous distincts tels que la somme de leurs inverses soit 1 ?

Même question si l'on veut choisir 2007 entiers naturels distincts. :doh:

Pour la 1, s'il existe un entier naturel a différent de 2 et que s'il existe un autre entier b tel que , on aurait .

Divisons les deux expression par a :



Mais a,b sont des entiers naturels > 0 et a > 2.

si ba alors la fraction devient supérieure à 1 mais peut-on trouver a et b tel que ?

Tout d'abord il faut que pour que ça soit possible donc il faut que . Or :





Or a > 2 donc 1-a CONTRADICTION car

[wouf]

1/a+1/b=1

(a+b)/ab=1

a+b=ab

à droite ab est un multiple de a (et de b) donc
a+b est un multiple de a (et de b)
donc b est un multiple de a (et a est un multiple de b)
donc a=b

[mathelot]

Wouf, :++: je tairai ma solution car il n'est pas d'usage de proposer quelque chose de moins élégant qu'une solution déja proposée.