Algébre linéaire

par **kaito974** » 25 Avr 2007, 10:05

Bonjour j'aimerais démontrer la chose suivante :

On a P appartenant à C[X] et P différent de 0 de degrés de P égal n
Comment montrer que la famille (P,P',P'',P'''.....P^(n)) est libre ?

(où P désigne un polynome)

par **kaito974** » 25 Avr 2007, 10:57

on sait que P^(n) est différent de 0 sinont le degré de P ne serait pas n et toutes les dérivées de P jusqu'à n sont différente de 0 donc la famille est libre?

par **Joker62** » 25 Avr 2007, 11:28

Famille de polynôme à degrés échelonnée.
Libre.

par **Rainbow** » 25 Avr 2007, 15:21

salut,
tu veux peut etre que je développe un peu la réponse expéditive de joker?
Tu ecris

(polynôme nul) (première chose à faire pour montrer qu'une famille est libre).
Un polynôme est nul ssi tous ses coefs sont nuls, donc en particulier le coefficient de

qui n'est autre que

, puisque seul P possède un terme de degré n. Or

est non nul, donc

.
Tu obtiens donc

. Le seul terme de degré (n-1) est

. Le même raisonnement te donne donc

, etc...

par **Joker62** » 25 Avr 2007, 15:25

C'est vrai que c'était expéditif, mais ça doit être un résultat connu, je pense :^)

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