équations différentielles

[puce]

bonjour, alors voila, j'ai un exercice mettant en jeu une équation différentielle


voici l'énoncé:

Une ville compte 10000 habitants
A 8h du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle.
on note y(t) la férquence de personnes connaissant la rumeur a l'instant t
on choisit 8h comme instant initial t0
la nouvelle se répend dans la ville de sorte que la vitesse de propagation y'(t) est proportionnelle a la fréquence de ceux qui connaissent la nouvelle et à la fréquence de ceux qui ne la connaissent pas
on admet que le coeff de proportionnalité est 1.15
A. Montrer que y solution de y'=1.15y(1-y) avec y(0)=0.01
dans cette question, je ne vois pas comment montrer que y est solution
j'aurais besoin d'une aide merci!
B. z définie par z=1/y
montrer que z vérifie z'=-1.15z+1.15
j'ai réussi cette quetion, je retrouve bien la relation
En déduire une expression de y(t)
j'ai mis y(t)=1/(Ke^(-1.15t)+1)
est ce que c'est bon svp?
par contre on me demande ensuite d'étudier y(t), sa limite.j'ai mis ke y(t) était croissante car j'ai calculé sa dérivée qui est positive.
je n'arrive pas a calculer sa limite
ps: j'ai déterminé k avc y(0)=0.01, je trouve k=99 mais je ne suis pas sure e ce résultat!
merci d'avance!!!

[puce]

en fait, ce qui me géne dans l'étude de y(t), c'est que je ne suis pas sure de la constante k que j'ai déterminé
et vu que l'on me demande de tracer la courbe représentative, si ma fonction est fausse, la courbe sera fausse également :triste:
j'aimerais vraiment avoir votre avis!!!
merci d'avance pour votre aide!!

[johnjohnjohn]

en fait, ce qui me géne dans l'étude de y(t), c'est que je ne suis pas sure de la constante k que j'ai déterminé
et vu que l'on me demande de tracer la courbe représentative, si ma fonction est fausse, la courbe sera fausse également :triste:
j'aimerais vraiment avoir votre avis!!!
merci d'avance pour votre aide!!

Si tes expressions de z et y vérifient toutes deux leur équation différentielle respective alors c'est bon ( Tu réinjectes les valeurs de z(x) et y(x) que tu as dans les équations et tu vois si ça colle quoi ). Ou es tu bloqué(e) ?

[puce]

bonjour, j'ai montré que z vérifié l'équation de l'énoncé ala question B
par contre pour y, je sais pas comment faire avec la relation donnée
y'=1.15y(1-y) avec y(0)=0.01 pour la question A
il faut se servir de y(0)??
j'avais commencé a développer
y'=1.15y-1.15y^2
et la, je ne sais pas comment faire
merci de ton aide

[johnjohnjohn]

bonjour, j'ai montré que z vérifié l'équation de l'énoncé ala question B
par contre pour y, je sais pas comment faire avec la relation donnée
y'=1.15y(1-y) avec y(0)=0.01 pour la question A
il faut se servir de y(0)??
j'avais commencé a développer
y'=1.15y-1.15y^2
et la, je ne sais pas comment faire
merci de ton aide

(1) y'=1.15y(1-y)
(2) z'=-1.15z+1.15

Tu as démontré qu'en posant y=1/z que y verifie (1) ssi z vérifie (2). Tu obtiens apres résolution de (2) ton expression de z et donc celle de y ( en prenant en compte y(0) ). Non ??

y'=-z'/z² , z différent de 0

(1) -z'/z²=1.15.(1/z).(1-1/z) -z'/z²=1.15(z-1)/z² z'=-1.15z+1.15 (2)

[puce]

ok merci
tu es d'accord avec mon expression de y(t) et de k=99?
merci vraiment de ton aide!

[puce]

la limite de 1/(99e(-1.15t)+1) en + l'infini
se serait pas 1/l'infini, mais sa me donnerai 0
sa colle pas??
kelkun a une idée svp?

[RadarX]

bonjour, alors voila, j'ai un exercice mettant en jeu une équation différentielle


voici l'énoncé:

Une ville compte 10000 habitants
A 8h du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle.
on note y(t) la férquence de personnes connaissant la rumeur a l'instant t
on choisit 8h comme instant initial t0
la nouvelle se répend dans la ville de sorte que la vitesse de propagation y'(t) est proportionnelle a la fréquence de ceux qui connaissent la nouvelle et à la fréquence de ceux qui ne la connaissent pas
on admet que le coeff de proportionnalité est 1.15
A. Montrer que y solution de y'=1.15y(1-y) avec y(0)=0.01
dans cette question, je ne vois pas comment montrer que y est solution
j'aurais besoin d'une aide merci!
merci d'avance!!!

Onn te dit que y' est proportionnelle a la frequence de ceux qui connaissent la nouvelle ==> y' = k * y.
Il est aussi proportionnel a la frequence de ceux qui ne la connaissent pas. Sachant la frequence totale est 1 alors celle de ceux qui ne la connaissent pas est 1 - y. Donc on a aussi y' = k' * (1-y).

En recapitulant on a: y' = k *y et y' = k' * (1-y).
En multipliant membre a membre on onbtient y'² = kk'*y(1-y)
y et 1-y etant tous deux positifs (car ce sont des frequences) donc kk' est aussi positif.
D'ou .
On nous dit aussi que cette constante vaut 1,15, donc
.
Par ailleurs, à 8 h (temps initial t0) 100 personnes connaissaient la nouvelle sur 10 000, cela fait une frequence de 100/10 000 = 0,01. Donc y(0) = 0,01.

[RadarX]

la limite de 1/(99e(-1.15t)+1) en + l'infini
se serait pas 1/l'infini, mais sa me donnerai 0
sa colle pas??
kelkun a une idée svp?

tend vers 0 en + l'infini, donc tend vers 1 et enfin tend vers 1.

Et j'espere t'avoir un peu aidé dans ton desespoir!!
Tu sais ce n'est pas facile, les gens ne sont forcement disponibles.
Du courage! :we:

[puce]

je te remercie beaucoup.
je n'avais pas penser à traduire l'énoncé de cette facon.
j'ai bien relu ta démarche, et j'ai compris.
et tu d'accord avec y(t)=1/(99e(-1.15*t)+1)??