Espace vectoriel normé - continuité

[renard20072007]

Soient (E,||.||e) et (F,||.||f) 2 espaces vectoriels normés
Soit T: E --> F, application linéaire
T est continue <--> il existe M>0 tq ||T(x)||f <= M*||x||e, pour tout x de E

Pourriez vous me donner des conseils, des indications (double inclusion ou directement), les méthodes à utiliser (absurde,...) et les outils à utiliser pour démontrer l'équivalence ? :we:

[emdro]

Bonjour,

traite les deux implications séparément.
Commence par la réciproque. (facile)

Ensuite pour le sens direct, pense à travailler sur la boule unité (vecteurs de norme 1). La généralisation est immédiate par linéarité.

[renard20072007]

J'ai réussi à montrer l'implication facile mais dans l'autre sens

Concernant l'autre implication, j'ai démarré ainsi:
On suppose que T est continu en 0:
pour tout eps > 0, il existe eta > 0 t.q. pour tout x de E, on a
||x||e < eta --> || T(x) ||f < eps
je pose eps =1
dc ||x||e < eta --> || T(x) ||f < 1
et la je ne comprends pas l'histoire de la boule unité...

PS N'existe-t-il pas une dém par l'absurde ?

[emdro]

je pose eps =1
dc ||x||e || T(x) ||f <= 1

C'est bien.

J'ai transformé "<" en "< ou =" pour faciliter la rédaction.

Si tu prends un y non nul maintenant et que tu poses x=(eta/||y||e)y
On a bien ||x||e=eta d'où || T(x) ||f <= 1
Mais|| T(y) ||f=(eta/||y||e)|| T(y) ||f
D'où(eta/||y||e)|| T(y) ||f<=1

et|| T(y) ||f<=(1/eta)||y||e. On peut poser M=1/eta.

Il faut encore ajouter que cela marche encore pour y=0

La boule unité, c'étaient de vieux souvenirs...

[renard20072007]

merci emdro