Bonjour,
Je bloque sur une question de niveau 1ère année de 1er cycle : si quelqu'un avait la gentillesse de me dire où est-ce que je me plante misérablement...
On se donne un ensemble E de cardinal fini à n+2 éléments et un ensemble F de cardinal fini à n éléments. On veut calculer le nombre de surjections de l'ensemble E sur l'ensemble F, soit S(n+2,n).
Je pensais me débrouiller comme suit, en adaptant la démonstration de S(n+1,n) :
Dans l'ensemble F, on a soit un élément qui possède exactement 3 antécédents dans E, soit (au moins) un élément qui possède exactement 2 antécédents dans E.
Dans le premier cas, on peut construire des surjections de E sur F de la façon suivante : on prend un élément de F (n possibilités), on lui "associe" 3 éléments de E (C(n+2,3) possibilités), et il reste à "associer" n-1 éléments de F avec n-1 éléments de E ((n-1)! possibilités). Au total, n*C(n+2,3)*(n-1)! possibilités.
Dans le deuxième cas, on peut construire des surjections de E sur F de la façon suivante : on prend un élément de F (n possibilités), on lui "associe" 2 éléments de E (C(n+2,2) possibilités), et il reste à associer n éléments de F avec n-1 éléments de E (S(n,n-1) = (n-1)*n!/2 possibilités). Au total, n*C(n+2,2)*(n-1)*n!/2 possibilités.
Si je fais la somme de toutes ces possibilités, j'obtiens :
n*C(n+2,3)*(n-1)! + n*C(n+2,2)*(n-1)*n!/2 = (n+2)!*n*(6n-2)/24.
Or, je sais que S(n+2,n) = (n+2)!*n*(3n+1)/24.
Donc, je me plante quelque part, mais je ne suis pas capable de trouver où... Si quelqu'un pouvait m'aider...
Merci.