Permutation

[lol24]

Bonjour,
qu'est ce que l'ordre d'une permutation ? est ce bien le ppcm des cycles ?
étant donnée une permutation lanmbda , comment calculer lambda^327 ??

[serge75]

En soit l'ordre d'un élément dans un groupe (noté multiplicativement par la suite) est le plus petit n>0 tel que x^n=1 (je n'envisage pas ici le cas où un tel n n'existerait pas, pour un groupe infini).
Bref, dans le cas d'une permutation, son ordre se trouve effectivement être le ppcm de la longueur de ses cycles dans sa décomposition en produit (commutatif) de cycles disjoints.
Pour répondre à ta question sur f^387, je ne sais trop quoi te répondre, tant les astuces propres à la situation seront prédominantes sur une méthode générale.
Si on devait donner des méthodes générales :
1 - bien sûr : la décomposer en cycles.
2 - calculer f^387 par exponentiation rapide.
3 - Si son ordre est <387 alors calculer seulement f^r ou r est le reste de la division de 387 par son ordre.
Ou tout mélange entre ces trois pistes.

[lol24]

Bonjour,
j'ai 15 pour l'ordre , donc il faudra faire 327/15 je trouve 12 pour le reste , dois-je écrire lambda^12 ? (parce que composer douze fois c'est assez long )
merci.

[serge75]

tu calcules juste (je note f pour lambda) :
f², puis f^4=(f²)², puis f^8=(f^4)², et enfin f^12=(f^8)o(f^4). Ca limite un peu

[lol24]

oui enfin , c'est une bonne astuce , mais je dois absolumment calculer f^12 .

[serge75]

si tu as fait préalablement ta décomposition en cycles ça ne devrait pas être trop dur (cycles disjoints>>>commutatifs, donc tu prens la puissance de chaque cycle)