Limite et sens de variation d'une suite..

[enj0y-v0dka]

J'ai la suite ..

Un=


Je cherche à démontrer son sens de variation et sa limite..
Quelqu'un peut m'aider ?!

[enj0y-v0dka]

je ne cherche plus qu'à démontrer le sens de variation pour la limite j'ai trouvé=)

[emdro]

Astuce, bien pratique:
faire apparaître le dénominateur au numérateur:(à utiliser sans modération)

Un=(5^n+2^(n-1)-2^(n-1)-2^n)/(5^n+2^(n-1))
Un=1-(2^(n-1)+2^n)/(5^n+2^(n-1))
Un=1-2^(n-1)(1+2)/(5^n+2^(n-1))
Un=1-2^(n-1)*3/(5^n+2^(n-1))
Un=1-3/(5^n/2^(n-1)+1)
Un=1-3/(2*(5/2)^n+1)

J'ai l'idée que ce sera plus facile à étudier ainsi...

[titejaune]

alors je pense avoir trouvé si la suite en croissante ou décroissante :
tout d'abord, nous sommes d'accord que ta suite est toujours positive
(ça nous sera utile pour la suite)

ensuite, un des moyens de savoir le sens de variation d'une suite, c'est de calculer le rapport u(n+1) / u(n)
si on calcule ce rapport, on trouve ((5^(n+1)-2^(n+1))/(5^(n+1)+2^n)) / ((5^n-2^n)/(5^n+2^(n-1)))
ensuite, si tu développes en haut et en bas (je te laisse le faire, juste en te rappelant que les puissances s'additionnent :id: )

tu obtiens à la fin (5^(2n+1)+1/2*(2^n*5^n)-2^2n)/ (5^(2n+1)-4*(2^n*5^n)-2^2n)

en gros, la différence, c'est que au numérateur, tu as 1/2(2^n*5^n) ; alors qu'au dénominateur, tu as -4(2^n*5^n)

donc, tu es d'accord que le nombre au dénominateur, il est plus petit que le nombre au numérateur, car il est négatif
donc, tu auras un numérateur (total)supérieur au dénominateur (total)
donc ton rapport est supérieur à 1 (je rappelle que ta suite est positive)
donc ta suite est croissante
:id:

[enj0y-v0dka]

merci beaucoup=)