Intégrale et dérivée

par **Eaglenight** » 15 Avr 2007, 20:01

BOnjour alors voila j'ai un petit exercice à continuer et je fait un nouveau post car cela ne vas plus de l'ordre de la vérification puisque je suis bloqué ^^

soit A l'integrale de 0 a PI/2 de e^(2x) [cos(x)]²
et B l'integrale de 0 a PI/2 de e^(2x) [sin(x)]²
Calculez A+B:
J'ai utiliser le théorème de la linéaritée en reunissant les deux intégrales . j'ai trouvé : A+B= (e^(PI)-1)/2

Après, on me demande de calculer la fonction dérivée de la fonction
f : x --> 1/4 e^(2x)[cos2x+sin2x]

je trouve sans simplifier ( car pas trouver comment faire ) :

1/2e^(2x)(cos2x+sin2x)- 1/4e^(2x)(-2sin2x+2cox2x)

et dans la deuxième partie de la question, on me demande de déduire A-B

Je bloque ici :/ éclairez moi svp .

par **Quidam** » 15 Avr 2007, 20:11

cos²(x)-sin²(x)=cos(2x)
Essaie d'opérer cette transformation avant d'intégrer (par parties, ça devrait aller !)

par **Eaglenight** » 15 Avr 2007, 21:14

en fait sa m'éclaire pas trop ton indice Quidam mais je crois avoir trouver ou est l"erreur . C'est pas dans ma dérivée de f ? dites moi ou est l'erreure :

f(x) = 1/4 e^(2x) [cos(2x)+sin(2x)]
soit u(x) = 1/4e^(2x) et v(x) = [cos(2x)+sin(2x)]
u'(x) = 1/2e^(2x) et v'(x)= [-2sin(2x)+2cons(2x)]

(u*v)'=u'v+uv'

f'(x)=1/2e^(2x)*[cos(2x)+sin(2x)]+1/4e^(2x)*[-2sin(2x)+2cons(2x)]

par **emdro** » 15 Avr 2007, 21:17

Eaglenight a écrit:je trouve sans simplifier ( car pas trouver comment faire ) :

1/2e^(2x)(cos2x+sin2x)- 1/4e^(2x)(-2sin2x+2cox2x)

Tu mets exp(2x) en facteur, et tu simplifies par 2 ton deuxième terme.

Et pourquoi un - entre les deux?

par **Eaglenight** » 15 Avr 2007, 21:22

emdro a écrit:Tu mets exp(2x) en facteur, et tu simplifies par 2 ton deuxième terme.

Et pourquoi un - entre les deux?

hm ça donnerai
e^(2x) [1/2(cos2x+sin2x) + 1/4(-2sinx+2cosx)] ?

par **emdro** » 15 Avr 2007, 21:25

Non, sin(2x) et cos (2x) à droite aussi.Mais le 2 qui est devant, tu peux le mettre en facteur, et le simplifier avec le 4 en bas.

par **Eaglenight** » 15 Avr 2007, 21:36

emdro a écrit:Non, sin(2x) et cos (2x) à droite aussi.Mais le 2 qui est devant, tu peux le mettre en facteur, et le simplifier avec le 4 en bas.

Ahhh bonne idée^^

e^(2x) [1/2(cos2x+sin2x) + 1/2(-sin2x+cos2x)]
= 1/2e^(2x) [(cos2x+sin2x) + (-sin2x+cos2x)]
= 1/2 e^(2x)[2cos(2x)]

Avec l'aide de Quidam cos²(x)-sin²(x)=cos(2x)

=1/2 e^(2x) 2[cos²(x)-sin²(x)]
=e^(2x) [cos²(x)-sin²(x)] = A-B !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Merci ^^ il me reste néanmoin une chose à éclarcir comment je pourrais démontrer que cos²(x)-sin²(x) = cos(2x)?

par **emdro** » 15 Avr 2007, 21:40

Tu connnais cos (x+y)?

Pose y=x

par **Eaglenight** » 15 Avr 2007, 21:41

emdro a écrit:Tu connnais cos (x+y)?

Pose y=x

bon ok jvais chercher sur google ^^
après recherche j'ai trouvé :

III. Formules d'addition
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

donc si a=b ==> Cos(a+b)= 2cos(2a)-2sin(2a)

edit apres mure réfléxion :

woups je reprends

donc si a=b ==>cos²(a)-sin²(a)

et voila on a résolut le mystère ^^

avec un peu de patience et de la reflexion c'est fou ce qu'on peu faire :ptdr:

En tout cas merci beaucoup Emdro :++: :++: :++: :++:

par **emdro** » 15 Avr 2007, 21:42

Les formules cos(x+y) s'appellent formules d'addition
les formules cos(2x) s'appellent formules de duplication

par **emdro** » 15 Avr 2007, 21:46

Non:
cos(a)cos(a), ça fait (cos(a))², ce qu'on note cos²a.

Au passage, en connaissant mieux ces formules, tu aurais vu directement le cos²+sin²=1 de ton autre problème!

par **Eaglenight** » 15 Avr 2007, 22:11

emdro a écrit:Non:
cos(a)cos(a), ça fait (cos(a))², ce qu'on note cos²a.

Au passage, en connaissant mieux ces formules, tu aurais vu directement le cos²+sin²=1 de ton autre problème!

c'est ce que j'ai écrit non ?

par **Eaglenight** » 15 Avr 2007, 22:13

j'etait en train de mettre à jour lorsque tu a écrit ce message :) et pour le cos²+sin² je connaissait cette formule mais le truc c'est que j'etait partis sur une voie completement différente et du coup j'ai completement pas penser à ça :stupid_in

par **Quidam** » 15 Avr 2007, 23:07

Quidam a écrit:cos²(x)-sin²(x)=cos(2x)
Essaie d'opérer cette transformation avant d'intégrer (par parties, ça devrait aller !)

Eaglenight a écrit:en fait sa m'éclaire pas trop ton indice Quidam

Mon intention n'était pas de t'éblouir, mais de t'éclairer juste un peu :

Après tu intègres deux fois de suite par parties et tu trouves ton résultat !

par **Eaglenight** » 15 Avr 2007, 23:10

A mon avis tu n'a pas du actualiser la page car j'ai réussi a trouver la réponse :we: grâce a toi et Emdro :we: :we: :we:

par **Eaglenight** » 16 Avr 2007, 15:40

Encore une dernier petit truc pour cet exercice ^^ : l'integrale de 0 a PI/2 de f'(x) c'est bien (e^PI-1)/4 ?

Apres , soit A+B= (e^PI-1)/2
et A-B= (e^PI-1)/4

Calculez A puis B.

A= (3e^PI-3)/8
B= (e^PI-1)/8

Ai-je bon ?

par **emdro** » 16 Avr 2007, 20:08

C'est A-B=-(exp(Pi)+1)/4

par **Eaglenight** » 16 Avr 2007, 20:09

Encore une dernier petit truc pour cet exercice ^^ : l'integrale de 0 a PI/2 de f'(x)= e^(2x)[cos²(x)-sin²(x)]c'est bien (e^PI-1)/4 ?

Apres , soit A+B= (e^PI-1)/2
et A-B= (e^PI-1)/4

Calculez A puis B.

A= (3e^PI-3)/8
B= (e^PI-1)/8

Ai-je bon ?

édit: grace a la correction que tu ma donner je trouve :

Apres , soit A+B= (e^PI-1)/2
et A-B= -(e^PI+1)/4

Calculez A puis B.

A= (e^PI-3)/8
B= (3e^PI-1)/8

par **emdro** » 16 Avr 2007, 20:14

Quidam a écrit:Après tu intègres deux fois de suite par parties et tu trouves ton résultat !

Je ne suis pas sûr, vu le texte de l'exo, qu'Eaglenight ait déjà vu l'intégration par parties.

par **emdro** » 16 Avr 2007, 20:16

Eaglenight,

c'est faux; tu as vu mon message de 20h08 ?

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