équation fonctionnelle

[cesar]

bonjour,

je seche depuis quelques jours sur une équation fonctionnelle de la forme suivante : on cherche f, fonction de ]-infini, 0[, avec f(0) = 0 (il y a un infini en 0 par valeur inferieure) et f(1-1/mu) = 0 (ici aussi, il y a une branche infinie)

f(g(x)) *g'(x) = f(x) pour x dans ]-infini, 0[

avec g(x) = mu*x*(1-x), mu est un parametre reel 0< mu < 1


Elle est tres facile à tabuler. Mais pour trouver cette fonction elle même c'est plus dur.


J'ai trouvé toutefois le truc suivant :

f(g(x))= f(x) + (g(x)-x)*f'(x) + (g(x)-x)^2/2!)*f''(x) +.....etc...

et on remplace f(g(x)) par f(x)/g'(x), dans le cas ou g'(x) different de 0 (ce qui est le cas sur l'intervalle de définition)..

0 = f(x)*(1-1/g'(x)) + (g(x)-x)*f'(x) + (g(x)-x)^2/2!)*f''(x) +.....etc...

c'est une equadiff, mais elle est plutot costeau...
bref, j'arrive pas à aller plus loin.
Si quelqu'un a une idée....

[palmade]

Si F est une primitive de f, on doit tomber sur F(g(x))=F(x) à une constante près; ça m'a l'air plus simple à manipuler...

[cesar]

Si F est une primitive de f, on doit tomber sur F(g(x))=F(x) à une constante près; ça m'a l'air plus simple à manipuler...

oui, mais cela reste insoluble : j'ai aussi essayé cela, on retombe sur une équdiff de même genre...

[palmade]

Pourquoi vouloir obtenir une équa diff?
On a F(g(x))=F(x) la constante est nulle puisque g(0)=0
Sur -inf,0 g(x) est monotone croissante et croise la diagonale aux points x=1-1/mu et x=0.
Pour 1-1/muF(j(x))=F(x) et pour x<1-1/mu, j^n(x) tend vers g(1-1/mu)=1-1/mu
F(x) est donc une fonction en escalier égale à F(1-1/mu) pour x<1-1/mu et à F(0) pour 1-1/muf(x) qui est sa dérivée est nulle sur ces deux intervalles, et comme de plus f(0)=f(1-1/mu)=0, f(x)=0 pour tout x de -inf à 0

[cesar]

Pourquoi vouloir obtenir une équa diff?
On a F(g(x))=F(x) la constante est nulle puisque g(0)=0
Sur -inf,0 g(x) est monotone croissante et croise la diagonale aux points x=1-1/mu et x=0.
Pour 1-1/mu<x<0 en itérant g^n(x) tend vers g(0)=0; de même si j=g^-1
F(j(x))=F(x) et pour x<1-1/mu, j^n(x) tend vers g(1-1/mu)=1-1/mu
F(x) est donc une fonction en escalier égale à F(1-1/mu) pour x<1-1/mu et à F(0) pour 1-1/mu<x<0
f(x) qui est sa dérivée est nulle sur ces deux intervalles, et comme de plus f(0)=f(1-1/mu)=0, f(x)=0 pour tout x de -inf à 0

ce n'est pas si simple : en 0, il y a une discontinuité, on ne peut en deduire que la constante est nulle. Elle est bien monotone croissante comme tu le dis, mais quand on la trace elle n'est pas en escalier...elle ressemble à une fonction rationnelle, j'arrive même à faire correspondre des morceaux avec des fonctions de ce type, avec un coef de correlation tres proche de 1..

[palmade]

Qu'est-ce qui est discontinu en 0? F qui est une primitive? Il me semble que toute fonction dérivable est continue!

[khivapia]

oui mais toute fonction définie par une intégrale n'est pas forcément dérivable, en fait (où est continue par morceaux) n'est pas dérivable en 1 si est discontinue en 1 (les dérivées à gauche et à droite ne sont pas identiques, d'un côté on a la limite à gauche de et de l'autre sa limite à droite.)

[palmade]

Elle est cependant continue...

[khivapia]

oui c'est vrai ! j'aurais dû le mettre...

[Anonyme]

les equation du type F(g(x))=F(x) où F est a priori continue en certains points se résout en étudiant les itérés de g ou de la fonction inverse g^{-1} (ou d'un des representant de la préimage, choix qu'on effectue à chaque itération). On se contente de definir F sur l'ensemble limite de ces suites (c'est la qu'on utilise la continuité).
Par ex l'equation F(2x)=F(x) se réduit a determlnier la valeur de F en 0 (en supp que F C^0 en 0)

[cesar]

les equation du type F(g(x))=F(x) où F est a priori continue en certains points se résout en étudiant les itérés de g ou de la fonction inverse g^{-1} (ou d'un des representant de la préimage, choix qu'on effectue à chaque itération). On se contente de definir F sur l'ensemble limite de ces suites (c'est la qu'on utilise la continuité).
Par ex l'equation F(2x)=F(x) se réduit a determlnier la valeur de F en 0 (en supp que F C^0 en 0)

excusez moi, mais je ne comprends mal cette explication : il faut tabuler la fonction et c'est tout ??

[Anonyme]

Il ne s'agit pas d'une methode de resolution par approximation numerique. (je sais pa ce que tu enten par "tabuler").

je vais essayer de trouver un moyen d'etre plus clair...

[Anonyme]

Si on suppose que f a une primitive F continue en zero et en 1-1/mu, alors F est donnée par :
- F(x)=F(1-1/mu) pour x<=1-1/mu
- F(x)=F(0) pour 1-1/mu
En effet, F est la solution du pb F(mu*x(1-x))=F(x).

Les pts fixes de g(x)=mu*x(1-x) sont 0 et 1-1/mu (et on a 1-1/mu<0)

Soit x dans ]1-1/mu,0[, on definit la suite u_n par :
u_0=x
u_{n+1}=g(u_n)=mu u_n (1-u_n)
Quelques inegalités faciles montrent que uè_n est croissante bornée, donc elle admet une limite

<=0.
La seule limite possible étant l'unique pt fixe de g qui soit supérieur à 1-1/mu, c'est zero.
Donc u_n tend vers zero.
Comme on a que pr tout n F(u_{n+1})=F(u_n)=...=F(u_0) et que F est continue en zero, F(u_0)=F(0).
Donc F(x)=F(0).

Pour x dans ]-inf,1-1/mu[, la suite u_n prec ne marche pas passqu'elle va vers -inf.
Par contre en prenant la suite inverse, ie telle que u_n=mu u_{n+1} (1-u_{n+1}), on en obtient une

qui tend vers 1-1/mu (raisonnemt analogue). Et donc par continuité F(x)=F(1-1/mu).

Ceci clot la démonstration.

[cesar]

merci, je pense que grace à vous, je ne suis plus tres loin de la verité et tient l'étude d'un des cas possible et des infos sur l'autre cas.
dans le cas qui m'occupe, il y a des branches infinis au niveau de la derivée au niveau des points fixes. L'équation F(g(x)) = F(x) est en fait :

F(g(x)) = F(x) + constante : on sait donc qu'il y a divergence en F(0) et F(1-1/mu), sinon la constante est nulle et la fonction est celle indiquée par Dieudonné.

[Anonyme]

Si on suppose que f a une primitive F continue en zero et en 1-1/mu, alors F est donnée par :
- F(x)=F(1-1/mu) pour x<=1-1/mu
- F(x)=F(0) pour 1-1/mu<x<0

En fait comme F est continue en 1-1/mu, on a forcément F(1-1/mu)=F(0). C'était bete de pas s'en rendre compte...
De plus, si on suppose f L^1_{loc}, F est (absolumt) continue donc continue en zero et en 1-1/mu.

Si f a des branches infinies, elle n'est pas forcémt L1loc et mon raisonnmt n'est plus valable...