Licence - Quelques questions sur les équations différentielles

[Eika1987]

Bonjour,

Quelques questions que je me pose sur les équations différentielles linéaires à coefficients constants :

1°) Pourquoi les solutions d'une équation différentielle linéaire s'expriment-elles avec des exponentielles ? On nous dit souvent d'introduire y=e^(lambda.x) dans l'équation pour en déduire le polynôme caractéristique puis les solutions, mais on nous explique plus rarement d'où vient l'idée de poser y=e^(lambda.x).
Un début d'idée que j'ai eue en y réfléchissant, et que l'on part de l'équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1, donc de la forme y'=ay. On voit les solutions évidentes de la forme ce^(ax), on montre ensuite que ce sont en réalité les seules. Ce qui m'amène aux questions :

2°) Comment montrer que ce sont les seules ? On pourrait a priori le déduire si on pouvait montrer que la dimension de l'espace vectoriel des solutions est 1 ? Mais comment établir la dimension de l'espace vectoriel des solutions ?

Je continue le 1°) :

Comme on peut ramener une équa diff linéaire homogène d'ordre n à une équa diff matricielle d'ordre 1 de la forme X' = AX, alors on applique le même procédé de résolution en passant par l'exponentielle de la matrice A ? Et de là viendrait le fait qu'une base de l'ensemble des solutions soit toujours consitituée d'exponentielles ?

3°) En fait, lorsque l'on veut résoudre l'équa diff matricielle X' = AX, on peut commencer par chercher les valeurs propres de A, puis les vecteurs propres.
Mais comment passe-t-on de la notion de valeurs propres/vecteurs propres à celle de solution d'une équation différentielle ?
On lit partout le procédé :
Si lambda1, ..., lambdan sont les valeurs propres, k1, ..., kn leur multiplicité algébrique et v11,...,v1k1,v21,..,v2k2,...,vn1,...,vnkn les vecteurs propres, alors la solution est une combinaison linéaire de :
v11.e^(lambda1.x),...,v1k1.x^(k1)e^(lambda1.x), v21.e^(lambda2.x),...,v2k2.x^(k2)e^(lambda2.x),...,vn1.e^(lambdan.x),...,vnkn.x^(kn)e^(lambdan.x)
mais d'où vient justement le fait de mettre les valeurs propres en puissance d'exponentielles et de multiplier ces exponentielles par les vecteurs propres ?!

4°) On est avec des réels. Si on s'intéresse à X'=AX mais que A n'est pas diagonalisable, que fait-on ? On passe dans les complexes ? On la trigonalise puis on l'exprime comme somme d'une matrice diagonale D et d'une matrice nilpotente N qui commuttent ? Pour ensuite avoir e^((D+N)t) = e^(tD)+e^(tN) que l'on peut calculer ?

Merci d'avance pour vos réponses ! Cela fait un moment que je réfléchis, mais je coince un peu...! :hein: Je vais partir une semaine en vacances pour me rafraichir les idées et j'espère qu'à mon retour, je pourrai trouver des éléments de réponse à mes questions sur ce forum ! :id:

En fait, j'aimerais rajouter une dernière question, un peu différente :

5°) Si j'ai l'équation différentielle y''+2x.y'=0 <=> (dy/dx)^2+2x(dy/dx)=0,
est-ce que j'ai le droit d'utiliser la variation des constantes comme ça ? :

(dy/dx)^2+2x(dy/dx)=0
<=> (dy)^2 / (dx)^2 = -2x (dy/dx)
<=> (dy)^2 / (dy) = -2x (dx)^2 / (dx)
<=> dy = -2x dx puis intégration

En fait, c'est d'écrire (dy/dx)^2 = (dy)^2 / (dx)^2 qui me fait bizarre...

Merci d'avance,

Eika

[mathelot]

salut,
on doit montrer , en étudiant le Wronskien qu'une famille libre de solutions est de cardinal n au plus, puis on exhibe la famille libre (maximale) constituée des
exponentielles et le tour est joué.

[Eika1987]

Merci Mathelot ! Je n'avais pas pensé au wronskien, mais je vois maintenant qu'il peut m'aider à répondre à certaines questions que je me posais :id: :zen:

[fahr451]

bonsoir

c'est dense comme post

il me semble que tu fais d'ailleurs des réponses (partielles) à tes questions

en prenant le début

1) y' = ay

tu dis y = cexp(ax) est sol évidente ok

pourquoi sont ce les seules ?

voila je réponds à ça

poser z = y exp(-ax) et vérifier que pour y sol z est constante

(on peut d'ailleurs travailler par équivalence)