Algebre - Matrice

[LaGhitite]

Bonjour,

J'ai une matrice A dans la base B = (b1, ..., bn) de l'endomorphisme u de C^n.
La matrice est un peu dure a representer donc je vais expliquer a quoi elle ressemble : u(b1) = 0, u(b2) = b1, ..., u(bn) = b(n-1) (en fait elle a une matrice extraite I(n-1)). Et j'ai une matrice X de l'endomorphisme f de C^n tel que X² = A. Voila, donc j'ai determiné Ker(u) = Vect(b1) et Im(u) = (b1, ..., b(n-1)). Maintenant il faut que je montre que Ker(f) = Vect(b1) mais je n'arrive qu'a montrer que Ker(f) est inclus dans Vect(b1). Et ensuite, j'ai le mm souci pour Im(f).
J'espere avoir été assez clair, merci d'avance pour vos reponses.

Alex

[tize]

Bonjour,
pour la première :
si x appartient à ker(f) alors f(x)=0 et donc fof(x)=0 d'ou u(x)=0 donc x appartient à Ker(u)=Vect(b1) et on a bien reste à conclure avec les dimensions en précisant que f n'est pas nulle.

[LaGhitite]

C'est la ou je restais bloqué. Comment conclure avec les dimensions ?
Ker(f) different de l'ens vide => dim(ker(f)) >= 1 mais comme il est inclus dans Vect(b1) => vect(b1) = Ker(f) ? Ou intervient le fait que f ne soit pas nul ?
Merci pour votre reponse

[tize]

Pardon nul part, c'est juste qui est utile.
Ensuite avec ce que tu as dit et le fait que c'est fini.
Ker(f) est un espace de dimension plus grand que 1 inclus dans un espace de dimension 1, donc Ker(f) est aussi de dimension 1 (pas assez de "place" pour plus). Un espace de dimension inclus dans un autre espace de dimension : ba c'est lui même.

[LaGhitite]

Ok merci !
Par contre, pour ce qui est de Im(f), j'ai fait ca (en sachant que Im(u) = Vect(b1, ..., b(n-1)))
Soit y € Im(u) il existe x € C^n tq u(x) = y = f(f(x)) => y € Im(f) => Im(u) est inclus dans Im(f)
or d'apres le th du rang, dim(Imf) = n-1
et dim(Vect(b1, ..., bn-1)) = n-1
d'ou Im(f) = Vect(b1, ..., bn-1)
Voila ce que je devais montrer, c'est correct ?

Merci beaucoup de votre aide