Suites TS ( blocage sûrement idiot )

[Clem0000]

salut à tous, je fais un exo sur les probabilités et les suites. J'en suis à la partie suites et je bloque ça fait une heure je ne comprends pas pourquoi. Quelqu'un pourrait-il m'aider?
Voici l'énoncé:

u est la suite définition par U1 = 1/3 pour tout k entier naturel supérieur ou égal à 1. Uk+1= 1/3 Uk +1/3

a) On considère la suite v définie pour tout entier k entier naturel supérieur ou égal à 1 par Vk= Uk - 1/2. Démonter que V est géométrique

b) En déduire l'expression de Uk en fonction de k. Montrer que la suite U est convergente et préciser sa limite.

=> a) Alors j'ai calculé Vk+1/ Vk et j'ai trouvé 1/3
donc V est une suite géométrique de raison 1/3

b) daprès la question précédente, Vk = 1/3^k * V1
d'où Uk - 1/2 = 1/3^k * ( U1 - 1/2 )
Uk - 1/2 = 1/3^k * -1/6
Uk = -1/3^k * 1/6 + 1/2

Et ça c'est pas bon!!! Puisque si je remplace le k par 1 je trouve U1 = 4/9 et non par 1/3 comme dans l'énoncé!!!
Ou ets mon erreur? Aidez moi ça fait une heure que je suis dessus :briques:

[emdro]

Vk = 1/3^k * V1

Salut

essaie cette égalité avec k=1, tu auras des surprises...

[Clem0000]

oui exact...ça ne marche par non plus! donc celà est vrai pour tout entier naturel "strictement" supérieur à 1 et je n'ai pas fait de réelle erreur à part cette question ?

[Purrace]

[emdro]

Non ce n'est pas l'idée, cela ne marche JAMAIS!
Fais un schéma: pour aller de v1 à vn, tu ne multiplies pas n fois par la raison, mais n-1 fois!
Donc Vn=v1*raison^?

[Clem0000]

Pourquoi est ce que ça ne fait pas
Uk = - 1/3^k * 1/6 + 1/2

là je ne comprends pas!! U1- 1/ 2 ça fait bien 1/3 - 1/2 = - 1/6 !!!.?donc c'est bien - 1/3^k * 1/6 + 1/2 et pas 1/3^k * 1/6 + 1/2

!!!! :cry:

[emdro]

Et tu avais raison pour le -1/6 dans le message que tu as effacé!

[Clem0000]

j'ai pas fait attention au fait que ce n'est pas U0 qu'on a mais U1... merci beaucoup et en u réflechissant c'est vrai il faut écrire Vk = 1/3^(k-1) * V1

C'est bien ça?

Et aussi, pour monter que U est convergente il faut que je montre sa monotonie et ensuite que je montre que U est soit majorée soit minorée... Mais comment je fais pour montrer qu'elle est minorée ou majorée?

[emdro]

très bien pour l'expression de vn. Fais TOUJOURS la vérification: il faut que ta formule marche au moins pour le premier terme!

Pour la limite, c'est bcp plus simple:

tu connais la limite de a^n lorsque n tend vers l'infini, suivant les valeurs de a?

[Clem0000]

Vn tend vers 0 donc Un tend vers 1/2
c'est ça?
Mais mon problèmre c'est qu'il faut d'abord prouver la "convergence" donc je doit bien montrer qu'elle est majorée ( puisque je vient de faire le calcul est qu'elle est croissante ) :hum:

[emdro]

Non, la question peut t'induire en erreur. Si tu as un théorème du cours qui dit que ta suite converge et te donne sa limite (0 pour v), c'est qu'elle converge, et c'est tout.

Il y a des suites qui convergent (-1/2)^n sans être pour autant monotones... donc on n'utilise pas toujours ce théorème.

[Clem0000]

Mais pourtant, lorsque je calcule Uk+1 - Uk je trouve 1/3^k+1
et si il ne faut pas que je montrer que U est croissante pourquoi est ce qu'on me demande l'expression de Uk

ou alors est-ce que je peux dire directement que puisque Vn est une suite géométrique de raison 1/3 alors elle converge ( vers 0 ) donc puisque Vn = Un -1/2 donc Un converge aussi et sa limite esmais ce n'est pas logique avec les question
Je suis désolée mais la je m'embrouille je suis perdue... :mur:

[emdro]

Je suis d'accord, c'est un peu mal posé. La limite de v donne celle de u sans avoir à expliciter u. Mais c'est peut-être moins abstrait pour certains une fois qu'on a l'expression littérale de u de trouver la limite. Ne t'inquiète pas pour cela.

[Clem0000]

d'accord... mais quand même si jamais je veux montrer que U est convergente sans utiliser son expression avec V
Est ce que je peux écrire Uk+1 - Uk = 1/ 3^(k + 1 ) , c'est le résultat que j'ai trouvé et montrer que U est majorée. Donc en fait ma question est y'a t'il un moyen ici de montrer que U est majorée .?
Merci beaucoup!

[emdro]

Tu me fais réfléchir!

ta suite, c'est 1/2 moins quelque chose de positif, non? Donc c'est majoré par 1/2.

Plus brutalement, c'est une probabilité, donc c'est majoré par 1!

Ca va comme ça?

[Clem0000]

pour votre première réponse, Uk = 1/2 - 1/3^(k-1) * 1/6 donc en fait ça doit marcher!!!
ET pour la proba! oke ça ça me va!!
Merci d'avoir passé autant de temps!!! :we:

[emdro]

C'était un plaisir. C'est une qualité d'être un peu têtue...