Puissances de 2 et de 5, proximité

[emdro]

Bonjour,

Partant de l'idée que 5^3 et 2^7 sont assez proches, je me suis demandé si en allant chercher des exposants plus grands, on pourrait encore améliorer cette différence.
Le comportement de la différence entre 5^n et 2^p, où p est choisi de manière optimale, semble être une globale croissance en fonction de n.

Peut-on exclure que 5^n-2^p=1, par exemple, pour n>1 et p>2 ?

Merci de m'éclairer à ce sujet.

[Spaz]

Bjour,

Je suis pas un expert, mais si tu développes ((2+1)+2)^3, tu trouves 2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^0.
Et sachant que 2^7 =
2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0+1

Je pense que le rapprochement vient de là :++:

[emdro]

Merci,

c'est peut-être une piste.
Mais je me demande comment tu as développé ton ((2+1)+2)^3 ...

En fait, je veux bien accepter que 2^7 soit à peu près égal à 5^3. Mes interrogations concernent la suite: les puissances de 2 et de 5 semblent s'écarter.

[Spaz]

-(x+y)^3 = x^3 + 2x²y + y²x + x²y + 2xy² + y^3
-(2+1)² = 2²+2²+1=2^3+1

Donc,

(2+1)^3 + 2²*(2+1)² + 2²*(2+1) + 2*(2+1)² + 2^3*(2+1) + 2^3

(2^3 + 2^3 + 2 + 2² + 2² + 1) + 2²*(2^3+1) + 2²(2+1) + 2*(2^3+1) + 2^3(2+1) + 2^3

2^4 + 2^3 + 2 + 1 + 2^5 + 2² + 2^3 + 2² + 2^4 + 2 + 2^5
2^5 + 2^5 + 2^4 + 2^4 + 2^3 + 2^3 + 2² + 2² + 2 + 2 + 1

2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2² + 1


Après, pour les puissances au dessus, je ne saurais te dire ^^
Mais 5^9 et 2^21 semble etre intéressant :++:

Mais je ne vais pas développer ((2+1)+2)^9 :ptdr:

Edit: Du mal a copier la 1ere ligne :cry:

[emdro]

OK, ça marche, merci;

Evidemment, ce n'est pas trop généralisable, comme méthode...

emdro

[Spaz]

j'y ai réfléchi un peu plus, et en fait, toute puissance de 5 s'exprime en somme de puissance de 2, il s'agit juste de sa représentation en binaire, donc c'est généralisable comme méthode ;)

[emdro]

En théorie bien sûr, mais développer (2^2+1)^n avec Newton, avec des coefficients binomiaux en binaire, je pensais trouver plus rapide!!

[scelerat]

Peut-on exclure que 5^n-2^p=1, par exemple, pour n>1 et p>2 ?

Deja, modulo 10, un trouve que p doit etre 4q+2 pour que 2^p se termine par 4. 2^(4q+2)=5^n-1, soit 4.2^(4q)=4.(5^(n-1)+...+1), donc n doit etre pair, n=2m.
On en est donc a 4.16^q=25^m-1. Regardons modulo 6, 4^(q+1) d'un cote, 1^m-1 de l'autre, 4=0 ??? On peut donc bien exclure que 5^n-2^p=1 pour n>1 et p>2.

[emdro]

OK, merci beaucoup.

j'avais bien pensé aux congruences, mais pas modulo 10!

Et pour la suite, il semble numériquement qu'on puisse exclure aussi une différence de 3 après 2^7 et 5^3, etc...

J'avais l'impression qu'on pourrait trouver une démonstration plus générale.

[olivthill]

On voit que les puissances de 5 (5,25,125,...) se terminent toutes par 5, car 5x5=25.
On voit que les puissances de 2 (2,4,8,16,...) se terminent par 6 uniquement pour 16, 256, ..., c'est-à-dire pour les puissances de 16, car 6x6=36.
N.B. cela a déjà été dit, en termes plus savants, par scelerat.

Maintenant, il me semble que la suite du raisonnement consiste à passer par les logarithmes.
Pour avoir une différence de une unité, on cherche x et y tels que
5^x - 16^y = 0

Cette équation est équivalente, si je ne me trompe pas, à
x.ln(5) - y.ln(16) = 0

C'est comme si on avait deux droites dans un plan, l'une ayant ln(5) comme coefficient directeur, et l'autre ayant ln(16) comme coefficient directeur, et que l'on cherche leur point d'intersection. On voit qu'elle se croisent uniquement en 0.

Je crois que le problème se généralise dans l'étude de la fonction
x.ln(a) - y.ln(b).

[scelerat]

Pour avoir une différence de une unité, on cherche x et y tels que
5^x - 16^y = 0

Cette équation est équivalente, si je ne me trompe pas, à
x.ln(5) - y.ln(16) = 0

Le probleme, c'est qu'on cherche 5^x-16^y = 1 et non zero. Neanmoins, il y a sans doute quelque chose dans cette direction, en prenant le log en base 5, par exemple. 5^x - 16^y = a => x = log_5(16^y+a), ou encore
x = y log_5(16) + log_5 (1+a/16^y).
On doit pouvoir montrer que s'il y a une solution pour un a, elle est unique, et que les x et y solutions croissent avec a.

[olivthill]

Vous avez raison, je me suis trompé. Excusez-moi.
En fait, je voulais faire ln(5^x - 16^y) = ln(1).
Mais si, à droite, le logrithme de 1 est bien zéro, par contre, de l'autre côté, cela ne donne pas ln(5^x) - ln(16^y). Domage.

[emdro]

Maintenant, il me semble que la suite du raisonnement consiste à passer par les logarithmes.
Pour avoir une différence de une unité, on cherche x et y tels que
5^x - 16^y = 0

Merci de ta réponse. Moi aussi, j'ai immédiatement pensé aux logarithmes, et je serais assez satisfait qu'une solution vienne de là!

Tu es sûr qu'il n'y a pas d'erreur?
Pour moi,
5^x - 16^y = 1
et donc ln(5^x - 16^y )= 0.

Mais là, cela ne fait plus du tout x.ln(5) - y.ln(16) = 0...

DESOLE, je n'avais pas regardé la page 2... J'arrive après tout le monde..