Fonction a deux variables

[road runner]

bonjour

comment savoir si la limite d'une fonction a deux variable en un point donnée existe et si c'est le cas comment la calculer

en bref comment calculer les limites des fonctions a deux variables

meci d'avance

[serge75]

Tout comme les fonctions d'une seule variable il n'y a pas de méthode toute faite et systèmatique. En général il faut avoir une idée de la limite, qu'on peut obtenir en disant que si f a une limite au point (2,3) (par exemple), alors cette limite L est la limite de la SUITE f(2+1/n,3+1/n).
1er cas : cette suite n'a pas de limite : tu peux conclure que f n'a pas de limite.
2me cas : cette suite a une limite L finie. Tu peux dire que SI f a une limite en (2,3), cette limite est L. Tu majores alors à la main |f(2+h,3+k)-L| par une quantité de limite nulle lorsque (h,k) tend vers (0,0) en utilisant les références suivantes qui ont toutes une limite nulle en (0,0) :
toute fonction g(h) d'une seule variable en h (ou en k) qui tend elle même vers 0 en 0.
toute expression g(||(h,k)||) où g est une fonction d'une seule variable qui est aussi de limite nulle en 0.

[road runner]

peut-tu ,stp, me donner un exemple avec des suites et un exemple pour une autre methode,

merci encore

[serge75]

Soit par exemple à trouver la limite en (1,2) de f définie par .
On est en (1,2) face à une indéterminée du type '0 sur 0' donc les théorème généraux ne permettent pas de conclure.
Je regarde alors , qui est équivalent à 1/n et donc de limite nulle.
J'en déduis : SI f a une limite, c'est 0.

NB : Le même problème aurait pu être posé en prenant f défini comme ci-dessus et f(1,2)=0, en posant la question de la continuité de f en (1,2). La partie précédente n'aurait alors pas lieu d'être car on aurait alors déjà un candidat à la limite, à savoir f(1,2)=0.

Dans un cas comme dans l'autre, reste désormais à regarder si on a bien f de limite nulle en (1,2).
Je cherche alors la majoration :
(la norme est ici la norme Euvlidienne, mais tu peux selon les circonstances utiliser celle qui t'arrange le plus).
J'utilise alors l'inégalité , ce qui amène :
. Cette dernière quantité est bien de limite nulle ce qui permet de conclure.
Serge

[road runner]

merci beaucoup

j'ai une autre question

comment montrer que
avec Z1 et Z2 deux nombre complexe

[Mite002]

Bonjour,
Réecris le membre de droite au carré développe et conclut!!!

[road runner]

ok c'est bon
merci

[fahr451]

bonsoir

il y a quand même toujours quelque chose de simple à faire c'est regarder la continuité (limite) partielle en fixant une des deux variables
on est ramené à un problème à une variable

[road runner]

pouvez vous m'expliquer comment utiliser le theoreme de la moyenne ci -dessus.

une autre question :si on a par exemple, lim x=>a(lim y=>a f(x,y) est differente de lim x=>a(lim y=>a f(x,y),que peut t'on dire ???

merci d'avance

[fahr451]

1) je ne vois pas le théorème de la moyenne mentionné et pour quel problème

2) que f n 'est pas continue au point (a,a)

[road runner]

ok pour f non continue

pour la moyenne c'est dans un autre message