Géométrie affine

[renard20072007]

Pourriez vous m’aider à terminer cet exercice ?

La plan affine P est rapporté au repère (O,i,j) et alpha est un réel.
Soit f(alpha) l’application de P dans P associant à tout point M(x,y) le point M’(x’,y’) t.q.
(dans la suite, à la place de alpha, je note a).
{ x’ = (a+1)x - y
{ y’ = (a+2)x -2y

1) On a montré que f(alpha) est affine et la matrice Ma de sa partie linéaire
phi(alpha) dans la base (i,j) est (a+1 -1)
___________________________(a+2 -2)

2) f est bijective pou tout alpha ;) 0.
___f(alpha) involutive ssi alpha =1.

3) 0(0,0) appartient à Inv(f(a)).

5) Soit l’application f(0). Préciser la matrice M0 de sa partie linéaire et montrer qu’elle est diagonalisable. Déterminer une matrice diagonale semblable à M0 et montrer qu’elle est le produit commutatif d’une homothétie vectorielle et d’une projection vectorielle. En déduire que f(0) est la composée d’une projection et d’une homothétie que l’on précisera. Donner une méthode de construction de l’image M’ par f(0) d’un point M quelconque de P.

M0 = ( 1 -1 )
_____( 2 -2 )

On obtient, après calcul, la matrice semblable M0s = ( 0 0 )
____________________________________________( 0 -1 )

Je n’arrive pas à faire la suite !!!
Je n’arrive pas à reconnaître l’homothétie et la projection en question

[Ted]

J'ai parcouru en vitesse et je pense que le plus dur est fait,
si tu prend un vecteur (x,y), l'image par MOs est (0,-y)...

Comme on te dit que l'homothétie et la projection sont commutatives on peut analyser ce résultat facilement il me semble...

si tu fais dans cet ordre homothétie puis projection tu peux observer que ta projection evoie tout sur l'axe (o,y), bon début non?

dans l'ordre inverse si la projection envoie (x,y) sur (0,y) alors forcément ton homothétie doit etre de rapport .... -1

Apres pour etre rigoureux, tu mets bien ça sous forme de matrice et à la limite tu regarde si ça commute vraiment. Mais je pense que je ne me suis pas trompé.

Tu aurais meme pu voir ca directement sur ta matrice
en regardant bien MOs on voit directement que tes coordonnées en x ont sauté, comme l'homothétie vectorielle ne fait pas perdre de coordonnées en général on peut avoir de gros soupçon quant à la projection... De même pour le -1; ya du vecteur opposé dans l'air, un coup de l'homothétie tout ça...