Calcul de somme

[tristan]

Sinon Lasaid voici comme je procédais au départ, même si je ne peux pas prouver la validité du raisonnement autrement qu'en vérifiant à posteriori que ça fonctionne.

En dérivant j'obtient . En multipliant par x on obtient ensuite . Il suffit alors de redériver pour avoir . Tout celà est à prendre avec des pincettes mais dans ce cas précis, ça marche.

[lolo]

Bonjour,
il n'y a aucun problème de validité , de convergence etc....toutes tes sommes sont FINIES tu peux donc dériver sans problème ton passage à la limite se fait APRES donc tout est correct et c'est pour cela que c'est dans un livre de terminale.

Bien cordialement,
lolo

[quinto]

Salut lolo,
non il n'y a pas de problème de convergence lorsque la somme est finie, mais tristan recherche la somme infinie.(ie la limite des sommes partielles d'après son énoncé)
D'ailleurs, la preuve en est que la somme finie ne donne jamais 2/(1-x).
Amicalement,
Quinto

[quinto]

Ok, je viens de relire le post de lolo, je me suis trompé.
En fait je veux bien que l'on dérive lorsque la somme est finie, mais pourquoi celà donnerai le résultat voulu par passage à la limite?

[Anonyme]

bonjour,

pose:
sn(x)=sum((k-1)²x^(k-1),k=1..n)
alors

en intégrant par rapport à x:
int(sn(x),x)=sum((k-1)x^(k-1),k=1..n)

en divisant par x (x non nul):
int(sn(x),x)/x=sum((k-1)x^(k-2),k=1..n)

en intégrant encore par rapport à x:
int[int(sn(x),x)/x,x]=sum(x^(k-1),k=1..n)=sum(x^k,0..n-1)=(1-x^n)/(1-x)

pour donc déterminer sn(x),
on dérive, on multiple par x, on dérive encore
on obtient:

sn(x)=n²x^n/[x(x-1)]-(2n+1)x^n/(x-1)²+2^(n+1)/(x-1)^3-(x+1)/(x-1)^3

voila

et pour la limite, sauf erreur:
s(x)=-(x+1)/(x-1)^3

[quinto]

Ok, je pense que je réfléchis trop sur la convergence de la série, dans le fond, c'est vrai que comme le dit lolo, on peut faire les opérations avant le passage à la limite, ce qui permet, à x fixé de trouver la limite de la suite numérique (Sn(x)).

[ALS]

Pourquoi ne pas raisonner à l'aide de la théorie des séries entières: on obtient immédiatement un rayon de convergence R=1 par d'Alembert, et on sait qu'alors la somme est indéfiniment dérivable sur ]-R,R[ = ]-1,1[, chaque série entière dérivée s'obtenant par dérivation terme à terme à partir de la précédente.

[quinto]

Bonjour,
c'est l'idée de mon explication, mais notre interlocuteur sort de terminale.

[tristan]

Encore merci. Les rayons de convergences attendront un peu ;)

[quinto]

Le rayon de convergence c'est le plus grand nombre R>=0 tel que ta série converge sur l'ensemble des x tels que |x|Graphiquement dans C ca représente bien un disque.
La remarque d'ALS est intéressante en ce sens que dans le disque de convergence tu y fais tout ce que tu veux sans jamais te poser de question (dérivation, intégration etc), et que ce rayon peut parfois se calculer très facilement, ce qui est le cas ici.
Notamment, je crois que c'est la limite sup de la racine n-ième de u(n).
A confirmer.
A+

[tristan]

D'accord dans mon cas il y'a bien d'où le rayon de convergence . C'est clair.

[Anonyme]

avec les series entieres,y a jamais de problemes de derivation dans le disque de convergence...