Espaces supplementaires

par **barbu23** » 21 Mar 2007, 20:16

Bonjour:
Pourriez vous me donner une explication sur la rasion pour laquelle deux espaces sont supplémentaires si :

est bijective.

par **barbu23** » 21 Mar 2007, 20:24

Pour la surjectivité:
On a :

:

.
On pose:

:

donc surjective !

par **barbu23** » 21 Mar 2007, 20:27

En principe:

alors pas la peine d'ecrire

Ehh j'suis con j'ai pas vu ça c'est une hypothèse !!!

par **barbu23** » 21 Mar 2007, 20:29

Maintenant on verifie que :

par **barbu23** » 21 Mar 2007, 20:35

On a:

et

donc injective !!
merçi quant meme !!

par **barbu23** » 21 Mar 2007, 20:37

Quelqu'un peut me corriger et merçi d'avance !!

par **fahr451** » 21 Mar 2007, 21:23

bonsoir
c'est correct modulo le fait que pour l 'injectivité le z est superflu ;
d'autre part le résultat est mieux qu 'une implication mais bien une équivalence.

par **barbu23** » 21 Mar 2007, 23:49

Pour l'injectivité au debut j'ai ecrit n'importe quoi d'abord les sous espaces vectoriels ont pour elements neutre celui de l'espace vectoriel global ...
en plus si

ça veut dire que

et

ce qui entraine que ;pour la première expression,

et

et pour la seconde

et

ce qui veut dire que on a vraiment

.
Merçi fahr451 pour ta reponse ... au depart j'ai raconté n'importe quoi !!! maintenant c'est claire comme reponse !!

par **barbu23** » 21 Mar 2007, 23:49

oui et la reciproque est aussi correcte !!

par **barbu23** » 22 Mar 2007, 12:38

Pourriez vous m'expliqez pourquoi on a :

si

est injective !!!
je travaille sur le cas reciproque du problème que j'ai proposé plus haut !! il est clair que

car

est surjective et

.. il reste ce dernier cas je vois pas comment faire et merçi infiniment !!!

par **barbu23** » 22 Mar 2007, 12:41

Soit :

... on doit montrer que

... pouvez vous me donner quelques pistes et merçi d'avance !!

par **barbu23** » 22 Mar 2007, 12:49

par **barbu23** » 22 Mar 2007, 13:44

Rebonjour:
j'ai un deuxième problème:
d'abord pour que vous compreniez j'ai un cours qui ne donnent que des resultats soit sans demonstrations soit avec des demonstrations très très succintes ... le 1 er problème en fait partie.. maintenant pour le deuxième, le voiçi:
soit

un espace vectoriel.
soit

un sous espace vectoriel de

.
soit

et

deux sous espaces supplementaires chacun par rapport à l'autre du sous espace vectoriel

...
alors on doit montrer que

et

sont isomorphe ..
pourriez vous me donner quelques pistes je ne sais meme pas par quoi commencer et merçi infiniment !!

par **barbu23** » 22 Mar 2007, 14:34

peut etre que j'ai mal compris le sens de cette proposition... dans un autre cours , on trouve ça :
" les supplémentaires d'un sous espace vectoriel sont isomorphes " ... est ce que celà veut dire qu'un sous espaces vectoriel peut avoir plusieurs supplementaires...

par **barbu23** » 22 Mar 2007, 14:39

voiçi ce que dit la proposition j'suis perdu :help:
Deux sous-espaces vectoriels qui sont supplémentaires d'un même sous-espace vectoriel sont isomorphes... à vous de la traduire à vos propres manières... j'ai un sale cours ... c'est trop dur de comprendre le contenu !!!

par **kazeriahm** » 22 Mar 2007, 14:43

la proposition veut dire que :

si E est un espace vectoriel, F,G et H trois sous espaces vectoriels de E tels que
F et G sont supplémentaires dans E
F et H sont supplémentaires dans E

alors G et H sont isomorphes.

Un sous espace vectoriel peut possèder plusieurs et meme une infinité de supplémentaires par exemple si E=R^2, si F est une droite vectorielle quelconque (par exemple la droite des abscisses), alors toute droite vectorielle distincte de F est un supplémentaire de F dans R^2

par **barbu23** » 22 Mar 2007, 15:11

ça veut dire que :

et

est ce que celà est vrai ?

par **barbu23** » 22 Mar 2007, 15:12

avec une demonstration ça aurait été sympas !!! il n'y'a pas de demonstration dans le cours !!!

par **barbu23** » 22 Mar 2007, 15:19

la decomposition est unique n'est ce pas ?!

par **kazeriahm** » 22 Mar 2007, 17:35

avec les memes notations
pour tout

dans H, il existe un unique

car x est dans H et donc dans E.

Tu considères l'application p qui va de H dans G et qui à

associe

. Tu peux vérifier que cette application est linéaire.

Montrons qu'elle est injective.

Soit

. On a donc

car

= 0. Donc

, c'est à dire que x_h est dans l'intersection de H et de G. Ces deux espaces étant supplémentaires, x_h=0 donc

et p est injective.

Montrons qu'elle est surjective. Soit

. Il existe un unique

dans F*H tel que x_g=x_f+x_h.

Donc x_h=-x_f+x_g, donc p(x_h)=x_g.

Donc p est surjective puis bijective donc c'est un isomorphisme de H sur G.

(En fait p est la restriction sur H du projecteur t sur G parallèlement à F mais je sais pas si tu connais ca. Dans ce cas H étant un supplémentaire de Ker t=F, on sait que p est un isomorphisme de H sur Im t=G mais ...)

Espaces supplementaires

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