Pas de demonstration convainquante

[Ismail]

je m'excuse avant de poser ce probleme que ,meme nos profs n'ont pas pu bien demontrer et qui est enoncé dans une épreuve d'olympiades:
on colore tous les points du plan par deux couleurs,demontrer qui'il existe un triangle rectangle isocéle tel que ses (bouts) soient de la meme couleurs ,
ce probleme me parait bizarre mais peut-etre vous allez avoir la reponse!!

[thomasg]

l'énoncé est très incomplet: qu'entends tu par points de l'espace ?(coordonnées entières), quelle est la règle de coloration? (deux points de même couleur ne sont pas côte à côte)

Précise avnat que l'on ne cherche. Merci.

[quinto]

Je pense que tous les points de R² sont pondérés d'un certain coefficient v qui peut prendre 2 valeurs différentes, mettons 0 ou 1.

Il doit falloir montrer qu'il existe toujours un triplet T de couples
T=((x,vx),(y,vy),(z,vz))
tel que xyz forme un triangle isocèle.

On doit pouvoir trouver un algorithme pas trop compliqué qui marche. Si c'est ca, ce n'est pas très compliqué.
A+

[Anonyme]

sir tal3ab hda darkoum

[quinto]

Ok, j'ai trouvé une solution très simple si c'est bien l'énoncé que j'ai traduit.
Est ce vraiment cet énoncé?

[Ismail]

l'enonce est complet ,enfin c ainsi qu'on l'a donné:
et je pense que ce n'est question d'algorithmes parce que c'est un probleme pour la seconde

[quinto]

J'ai un graphique qui exhibe non pas une solution, mais qu'il existe une solution, si bien entendu l'énoncé que je donne est vrai, ce que tu ne sembles ni infirmer ni confirmer.
Cependant je ne sais pas afficher d'image...

L'idée est simple, je vais la décrire, je note v ma fonction qui prend la valeur 0 ou 1, je l'appelle valuation.
Supposons qu'il n'existe aucun triangle isocèle dont les sommets ont toutes les mêmes valuations.
Je considère un carré dans R².
Il est évident que si mon carré est

AB
CD

alors les valuations sont forcément du type
10
01 à rotation près.

Notamment je vais "prolonger" mon carré afin d'obtenir 2 carrés qui se chevauchent:

EF
AB
CD

Je trace les diagonales du premier carré.
Il est évident que sur toute la diagonale AD, les points ne peuvent être que de valuation 1 (sinon contradiction), sauf peut etre au milieu.
De même sur toute la droite CB sauf au milieu du segment CB, tous les points ont une valuation 0 sinon contradiction.
Traçons alors la droite EF au complet, et elle coupe la droite AD en un point I, notamment puisque I appartient à la droite AD, alors v(I)=1.
Si v(E)=0, alors EBC est un triangle isocèle ayant les mêmes valuations, contradiction.
Donc v(E)=1.

Dans ce cas, il est clair que EIA est un triangle rectangle isocèle, et que v(E)=v(I)=v(A) (contradiction)
Notamment v(E) différent de 0 et de 1.
Contradiction car tous les points ont une valuation.

Donc un tel triangle existe bel et bien.
(faire un dessin)
A+

[thomasg]

Avec l'énoncé réécrit par quinto le problème est en effet assez simple

trace un cercle de centre O, il coupe les axes des ordonnées et des abscisses en 4 points

Si ils sont tous 4 de même couleurs, 3 de ces points forment le triangle demandé

si ils sont trois de même couleur, ces trois là forment le triangle

si il n'y en a que deux de même couleur : cas plus complexe détaillé ci-dessous

si les points ne sont pas diamétralement opposés alors ils forment le triangle voulu avec le centre du cercle

si ils sont diamétralement opposés alors il y a trois points alignés (dont le centre de même couleur)
on considère alors le carré dont les côtés sont parallèles aux axes et de centre O. On considère les côtés de ce carré, si les 4 sommets sont d'une couleur différente de nos trois points alignés alors le triangle recherché est constitué par trois de ces sommets
si les 4 sommets ne sont pas de même couleur alors l'un au moins est de la couleur de nos trois points alignés, avec deux de ces points (dont le centre) il forme le triangle recherché.

Si quinto a une solution plus simple, merci de m'en faire part.
Au revoir.

(je viens de me rendre compte que j'ai été précédé)

[quinto]

Thomasg, nos posts ont du se croiser.
Globalement on a eu la même idée visiblement.
Amicalement.

[Ismail]

je vais essayer un truc qui ne m'a pas convaincu:
on prend deux points de la meme couleur A et B
il existe trois points dans chaque mi-plan determiné par (AB),qui satisfaissent le triangle demandé,et si ces trois points sont de couleur differente de Aet B
alors ils constituent un triangle rec.iso.

[quinto]

As tu lu nos réponses?