Primitive Arctg^2

[Anonyme]

bonjour,

Mes souvenirs de prépa sont déjà très (très) loin, quelqu'un pourrait-il m'aider à trouver la primitive de Arctg²(x) ?

Merci d'avance.

[palmade]

Je ne crois pas que l'on puisse calculer la primitive par les fonctions usuelles; la démarche serait: changement de variable et intégrations par parties x=tgu, dx=(1+(tgu)^2)du
(Arctgx)^2)dx=u^2(1+(tgu)^2)du=d(tgu u^2)-2u tgu du
-u tgu du=d(u ln(cosu))- ln(cosu)du...
et on n'est pas plus avancé!

[leibniz]

Bonjour,
Je rejoint l'idée de Palmade, et j'affirme qu'il est imposssible de calculer cette primitive, au moin par les moyens qu'on a etudiés.

[Ian]

J'ai essaye par curiosite avec un logiciel de maths, et voila ce que ca donne (ou cas ou qqun ait le courage de verifier):

int (arctan(x))^2 dx= (2i*arctan^2(x))/(1+(1+ix)^2/(x^2+1))-2i*arctan^2(x)+2*arctan(x)*ln(1+(1+ix)^2/(x^2+1))-i*polylog(2, -(1+ix)^2/(x^2+1) )

ou

polylog(a,z)=somme (n=1, n=+infini) {(z^n)/(n^a)}.

Ca parait pas tres simple, tout ca...

A plus.

[Anonyme]

Bonsoir,
Merci beaucoup pour vos réponses. Je m'attendais à une formulation compliquée mais à ce point-là !
Cependant, j'ai vérifié et c'est bien juste.
Est-ce que j'abuse si je vous demande d'essayer avec votre logiciel la primitive de Arctan(a+x)*Arctan(a-x) (a réel non nul) ?
Merci
A+

J'ai essaye par curiosite avec un logiciel de maths, et voila ce que ca donne (ou cas ou qqun ait le courage de verifier):

int (arctan(x))^2 dx= (2i*arctan^2(x))/(1+(1+ix)^2/(x^2+1))-2i*arctan^2(x)+2*arctan(x)*ln(1+(1+ix)^2/(x^2+1))-i*polylog(2, -(1+ix)^2/(x^2+1) )

ou

polylog(a,z)=somme (n=1, n=+infini) {(z^n)/(n^a)}.

Ca parait pas tres simple, tout ca...

A plus.

[Ian]

Salut, desole pour la reponse tardive...
Mon logiciel refuse de me donner une reponse. Y'a peut-etre un moyen direct de calculer l'integrale (par parties?), mais je n'ai pas le temps en ce moment.
A+

[Jeet-chris]

Salut.

Il doit y avoir moyen de feinter:

(x*Arctan²(x))' = Arctan²(x)+Arctan(x)*2x/(1+x²)

On reconnait dans Arctan(x)*2x/(1+x²) Arctan(x)*(ln(|1+x²|))' . Et après je ne sais pas si une intégration par partie résout tout ça.

Pour la deuxième expression, faudrait essayer aussi.

Peut être que transformer Arctan en ln peut aider.

@+

[Gichin]

Salut,

Cela paraissait prometteur, mais dans l'intégration par partie je bloque sur l'intégrale de log(1+x²)/(1+x²).
J'ai essayé aussi avec le ln, mais pour l'instant, sans succès.
Je me demande si dans ce logiciel, on rentrait Arctan(7+x)*Arctan(7-x), ou tout autre valeur, plutôt qu'une autre variable a, on n'obtiendrait pas quelque chose

A+

[PaTaPoOF]

Bonjour,
Ne cherche pas, l'intégrale de (log(1+x²))/(1+x²) est trop complexe :

int(log(1+x^2)/(1+x^2)dx) =-1/2*I*ln(x-I)*ln(1+x^2)/ln(10)+1/2*I*dilog(-1/2*I*(x+I))/ln(10)+1/2*I*ln(x-I)*ln(-1/2*I*(x+I))/ln(10)+1/4*I*ln(x-I)^2/ln(10)+1/2*I*ln(x+I)*ln(1+x^2)/ln(10)-1/2*I*dilog(1/2*I*(x-I))/ln(10)-1/2*I*ln(x+I)*ln(1/2*I*(x-I))/ln(10)-1/4*I*ln(x+I)^2/ln(10)

Sinon pour Arctan(7+x)*Arctan(7-x), j'ai essayé et pareil Maple refuse obstinément de calculer... (de toute façon s'il n'arrive pas avec a, il arrivera pas avec autre chose...). Ce n'est peut-être pas la bonne piste ?

Bon courage