Sil vous plaît, je nécessite votre aide. En effet, jai un devoir doptimisation la semaine prochaine ; je suis en train de le préparer en traitant danciennes épreuves. Cependant, jéprouve de grosses difficultés car jai été très malade durant une bonne partie du déroulement de ce cours ; en plus, ces épreuves ne sont pas très faciles. Par conséquent, vous me rendriez un très grand service pour lequel je vous serais infiniment reconnaissant si vous men fournissez les corrigés.
Merci davance.
N.B: J'ai saisi les épreuves dans Word, à l'aide du logiciel MathType;lorsque j'ai essayé de faire un copier-coller vers cette page,les formules tapées à l'aide de MathType ont disparu,comme vous pouvez le constatez dans l'énoncé qui suit:comment faire,s'il vous plaît?
EPREUVE 1:
Exercice 1 :
Soit A une matrice symétrique définie positive (n ,n), B une matrice (p,n) de rang p et c .
a) Montrer que la matrice est inversible.
b) On considère le problème suivant : =inf [
Caractériser les solutions optimales de ce problème dans les deux cas suivants : c ( ) et c ( ).
Exercice 2 :
Soit C lensemble de défini par : C={(x1,x2) :x1+x2;)1,x1;)0,x2;)0}, et
f : ;) définie par f(x1,x2)=-x1-2x2-2x1x2+ +
1) La fonction f est-elle convexe ? concave ?
2) On considère (P) le problème de minimisation de f sur C.
a) Montrer que tout minimum, même local, de f se trouve sur la frontière Fr(C) de C.
b) Déterminer le cône tangent à C en ( T(C, ) ) et le cône normal à C en ( N(C, ) ) en tout point de Fr(C).
En déduire quil nexiste quun seul point de C vérifiant la condition nécessaire de minimalité du 1er ordre. Déterminer lunique solution du problème (P).
3) Résoudre le problème de maximisation de f sur C.
Exercice 3 :
On considère le problème suivant : =inf [
où c , a , A est une matrice (p,n) de rang p. On suppose en outre que
E={x : x;)0, Ax=a} est compact et Ê={x : x>0, Ax=a}est non vide.
a) Ecrire son problème dual.
Soit >0 donné ; on considère la fonction : f (x)=
b) Montrer que le problème Inf [f (x) :x>0, Ax=a] admet une solution optimale et une seule. On la notera par .
c) Ecrire les conditions doptimalité pour ce problème. Déduire de ces conditions et de la question a) linégalité :
Soit x Ê ; on note X la matrice diagonale telle que Xii=xi pour tout i et e le vecteur de dont toutes les composantes sont égales à 1. On considère lapproximation du second ordre g de f au voisinage du point x :
g(x+d)= f (x)+< f (x),d>+< f (x)d,d>.
Soit d la solution optimale du problème Inf[g(x+d) : Ad=0] et .
d) Ecrire les conditions doptimalité. Montrer que : || || +
e) Soit et t>0 suffisamment petit pour que les fonctions soient bien définies.
Montrer que :
En déduire que : , puis, que pour un bon choix de t,
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