Un peu de reflex

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Ismail
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un peu de reflex

par Ismail » 23 Juin 2005, 15:16

(x,y)deIR^2tels que x+y=2
demontrer que x^4 + y^4>=2 :eek: :D :cool: ;)
c un probleme a 10 etoiles **********



mathador
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par mathador » 24 Juin 2005, 12:44

BONJOUR (hem hem...)
je n'ai pas fini le problème, mais je crois avoir un bonne piste :
on a x+y=2 donc
Posons et développons A = :
A = (merci à Newton et Pascal ;) )
A =
A = si mes calculs sont justes
A =
Or par hypothèse x+y=2 donc on a :
A =

Maintenant, il faudrait conclure ... je cherche, je cherche :D

quinto
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par quinto » 24 Juin 2005, 13:01

C'est un simple problème d'étude de fonction
x+y=2
alors y=2-x

la question revient donc à montrer que
x^4+(2-x)^4>2

Que l'on peut facilement faire avec des outils de première.

C'est pas très élégant, mais ca à le mérite de marcher.
A+

quinto
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par quinto » 24 Juin 2005, 13:19

Notamment
f(x)=x^4+(x-2)^4-2
1 est racine évidente.
En fait elle est même double.

On a donc à étudier le signe de
(x-1)²(x²+bx+c) ce qui se fait plutôt bien.

Sinon, comme le fait remarquer mathador, un peu de politesse n'a jamais fait de mal...

Ismail
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j'y suis!!

par Ismail » 24 Juin 2005, 13:25

vous savez , je viens de trouver la bonne reponse ,voulez vous la savoir ou bien je vous laisse encore chercher??

quinto
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par quinto » 24 Juin 2005, 13:27

Je viens de te donner une solution.
Si tu en as une autre, alors pourquoi pas?

mathador
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par mathador » 24 Juin 2005, 13:30

J'avais un peu compliqué par plaisir ... encore que j'avais, après ma méthode batarde, pensé à la méthode plus simple énoncée par Quinto. Mais par pur égoïsme je vais dire que je préfère la mienne, même si elle n'aboutit pas !
Quelle était donc ta méthode, Ismail ?

Ismail
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par Ismail » 24 Juin 2005, 13:34

on a x+y=2 alors (x+y)^2=4 alors x^2+y^2+2xy=4
d'autre part on connait que (x-y)^2>=0 donc x^2+y^2-2xy>=0
la somme donne: 2(x^2+y^2)>=4
donc x^2+y^2>=2
on l'eleve au carré: (x^2+y^2)^2>=4 alors x^4+y^4+2x^2y^2>=4
on connait deja que (x^2-y^2)^2>=0 alors x^4+y^4-2x^2y^2>=0
la somme: 2(x^4+y^4)>=4
alors finalement x^4+y^4>=2
je cherche maintenant une autre methode

quinto
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par quinto » 24 Juin 2005, 13:37

Ok je pense que tu attendais une méthode algébrique, c'est ce que tu as fait.
Si tu cherches une méthode plus analytique (bien que ma méthode n'utilise que des arguments d'algèbre en fait je pense), je t'ai donné des pistes.

quinto
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par quinto » 24 Juin 2005, 13:41

mathador a écrit:Mais par pur égoïsme je vais dire que je préfère la mienne, même si elle n'aboutit pas !

Par frustration peut etre aussi ;)

En fait ma méthode est simple à comprendre:
On considère la fonction de deux variables
g:=(x,y)->x^4+y^4

Le fait d'avoir la relation x+y=2 revient à voir qu'en fait on étudie la fonction, uniquement sur la droite d'équation x+y=2. Ce qui nous ramène à une fonction d'une variable.
C'est un truc assez classique que l'on utilise lors des recherches d'extrema de fonctions à plusieurs variables, lorsque la configuration est simple.

C'est le genre de remarque qui ne dit pas comment on trouve la solution, mais qui dit commet on pense à aller dans cette direction (bien qu'ici c'était assez naturel)

Ismail
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par Ismail » 24 Juin 2005, 14:03

regardez celle ci : je note r(x)=racine carré de x
x^4+y^4=x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-(r(2)*x*y)^2
=(x^2+y^2+r(2)*x*y)(x^2+y^2-r(2)*x*y)
=[(x+y)^2-xy(2-r(2))][(x+y)^2-xy(2+r(2))]
=[ 4 -xy(2-r(2))][ 4 -xy(2+r(2))]

revenons sur xy: on connait que (x+y)^2>=4xy
alors 4>=4xy ce qui fait que xy<=1 . maintenant vous pouvez encadrer le nombre :[ 4 -xy(2-r(2))][ 4 -xy(2+r(2))]pour trouver exactement qu'il plus grand que (2-r(2))(2+r(2))=2

cesar
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par cesar » 24 Juin 2005, 23:36

Ismail a écrit:on a x+y=2 alors (x+y)^2=4 alors x^2+y^2+2xy=4
d'autre part on connait que (x-y)^2>=0 donc x^2+y^2-2xy>=0
la somme donne: 2(x^2+y^2)>=4
donc x^2+y^2>=2
on l'eleve au carré: (x^2+y^2)^2>=4 alors x^4+y^4+2x^2y^2>=4
on connait deja que (x^2-y^2)^2>=0 alors x^4+y^4-2x^2y^2>=0
la somme: 2(x^4+y^4)>=4
alors finalement x^4+y^4>=4

je cherche maintenant une autre methode


pourquoi vous ne la generalisez pas à x^2*k+y^2*k ????

 

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