D.e.s

[xavierrff]

bonsoir,

Je n'arrive pas à trouver comment faire cette décompo en elements simples:

F= 1/ (X²(X²+x+1)) !


Merci!

[fahr451]

bonsoir

dans R ou dans C ?

[xavierrff]

Dans R svp

[fahr451]

-1/x + 1/x^2 + x/(x^2+x+1)

[xavierrff]

oui la réponse je l'ai mais je vois pas comment on arrive la!

[allomomo]

Salut,



Dans C :

Dans R

[mathelot]

bonsoir,

Il faut que tu suives deux étapes:
- lire la démo théorique de la décomposition en éléments simples d'une fraction de polynomes (division euclidienne,identité de Bezout, division par puissance croissante..)
- faire des exercices pour assimiler les techniques de base pour le calcul des coefficients une fois la forme canonique en éléments simples connue.

[fahr451]

a priori on a

1/(x^2(x^2+x+1)) = 0 + a /x +b/x^2 + (cx+d)/(x^2+x+1)
0 correspond à la partie entière quotient du numérateur par le dénominateur
on calcule b en multipliant par x^2 et en simplifiant par x^2 et en évaluant en x= 0

on multiplie par x^2+x+1 on simplifie , on évalue en j complexe qui annule ce trinôme on trouve cj+d = 1/j^2 = j

or (1,j) est une base de c comme r ev donc c = 1 et d = 0

on multiplie par x on prend la limite en + inf on a

0 = a +c donc a = -1

[xavierrff]

merci, peut tu detailler le passage de C à R pour trouver c et d? Qu'est ce que "(1,j) la base de c" ?

merci

[fahr451]

j le complexe exp (2i pi /3) il est racine de x^2 +x+1 = 0 d'où son utilisation

(1,j) est une base du plan ( C) comme R e v tout comme (1, i ) en est une
pour c, c ' d , d ' réels
c + d j = c ' + d ' j implique c = c ' et d = d '