Matrice

[Neeb]

Bonjour, je n'arrive pas à faire une question de mon dm aussi je sollicite votre aide...

On se donne A une matrice nn réelle telle que pour tout X matrice n1 réelle, AX=0 implique X=0

On me demande de montrer que l'application qui a M associe AM est linéaire. Ca c'est bon.
Puis montrer que AM=0 implique M=0. Ca c'est bon.
Et enfin je dois en déduire que A est inversible, est là je ne vois pas ....

Merci du coup de main !!

[Huit]

Salut,

Ce que tu viens de montrer signifie que le noyau de ton application est réduit à 0. Et ainsi elle devient injective puis bijective et à partir de là t'as ton inversibilité à droite.
Pour l'inversibilité à gauche refait pareil avec une autre application.

Sauf bétises ^^

[fahr451]

bonjour
rain je pense qu 'il y a confusion entre les applications


f Mn(R) ->Mn(R) M ->AM est linéaire injective ( prouvé semble-t-il) donc bijective car endomorphisme en dim finie donc In a un antécédent M'

et M'M = In ce qui assure que M est inversible à GAUCHE

puis pour l'inversibilité à droite idem

g Mn(R) ->Mn(R) M->MA

et existence de M" avec MM" = In

puis M'MM" = M' = M" et le réultat

(c'est ce que disait huit)

A n'est pas la matrice de f , la matrice de f est de taille n^2

[Neeb]

Je pense qu'il y a confusion car je devais prouver que A est inversible et non M, ou alors j'ai mal compris votre raisonnement et n'en ai même pas vu le résultat.

[Huit]

Ce que voulais te dire Fahr en reprenant ses notations c'est que :
In admet un antécèdent par f donc il existe M' tel que f(M')=In
Donc AM'=In ce qui voudrait dire que A est inversible à droite.
Mais je me méprend peut-être :marteau:

[fahr451]

oups j'ai confondos A et M

oui huit désolé A est inversible à droite