Géométrie differentielle(suite de mon probleme)

[nalia]

on nous demande : de montrer que les trajectoires sont de 3types:
*constantes si z°=o
**demi-droites, {Re<0} si z°<0, {Rez>0} si z°>0
***cercles passant par l'origine(mais privés de l'origine) centré sur l'axe imaginaire si z° n'appartient pas a R

[cesar]

l'equation est z=1/(1/z0-t) et se transforme en z= z0/(1-z0*t)

si Z0 = 0 alors Z = 0 est la seule solution.

si Z0 reel, alors Z est reel : y=0 et x= z = z0/(1-z0*t) qui varie de 0 jusqu'à l'infini lorsque t=1/z0 si t varie de -infini à + infini
le resultat est l'axe des x, mais si on considere les intervalles pour t
]-infini, 1/z0[ et ]1/z0, +infini [ cela fait les x negatifs et les x positifs donc 2 demi droites (le point zero n'appartient pas à ces droites, car il correspond à t infini..)

je ne comprends pas cette notation :
{Re<0} si z°<0, {Rez>0} si z°>0

[nalia]

je pense que c'est pour z° negtif on considere l ensemble des reelles de de z negatif mais je n'en suis pas certaine

[nalia]

et encore une foi Un Grand merci pour les aides

[cesar]

voyons la suite : le cercle.

posons zbarre = x-i*y (c'est le conjugué de Z)
zbarre = z0barre/(1-z0barre*t)
on a 1/zbarre -1/z = (1-z0barre*t)/z0barre - (1-z0*t)/z0
ce qui se simplifie en :

1/zbarre -1/z = 1/z0barre - 1/z0

soit (z-zbarre)/(module de z)^2 = (z0barre - z0)/(module de Z0)^2
ici on repasse en x et y :

cela fait : 2*i*y/(x^2+y^2) = -2*i*y0/(x0^2+y0^2) je pose le second membre egal à : i*a
apres calcul, il vient : (y-1/a)^2 + x^2=1/a^2

ce sont bien des cercles
de rayon au carré 1/a^2
passant par x=y=0
de centre (0,1/a), donc sur l'axe des complexes

le point (0,0) bien que donné par l'equation ne fait pas parti du cercle (si Z=0 alors 1/Z = ??? ), mais surtout parce que 0 est un point singulier : v(0,0)=0..

[thomasg]

Après lecture je suis d'accord avec les justifications de César.

Petite remarque:

pour l'équation z'=z^2, le théorème d'unicité des solutions de Cauchy Lipschitz s'applique. La fonction z=0 est solution.
Donc en application du théorème d'unicité, toute fonction solution qui s'annule en un point est égale à la fonction nulle

Cela justifie que la fonction nulle est l'unique solution dans le cas z°=0
Cela justifie que l'origine n'apparitent pas aux cercles solutions dans le troisième cas proposé.

Au revoir, à bientôt.

[nalia]

:) un grand merci à CESAR et à THOMAS Merci