DM, 1ES : Suite numériques et annuités sur un capital ...

[Starfunk]

Classe : 1ES
Lorsqu'un capital C est emprunté au taux d'intérêt t sur une durée de N années, diverses modalités de remboursement peuvent être envisagées (amortissements constants, annuités constantes ...)
Les amortissement : remboursement partiels successifs du capital emprunté.
Les annuités : paiements annuels, somme des intérêts et des amortissements.
On prend dans cet exercice un capital C de 10 000 euros et taux d'intérêt de t=4% sur N= 20 années.

I - Amortissements constant : résolu

Là où je bloque :

II - Annuités constantes :

On suppose que le client souhaite que les annuités restent constantes pendant les 20 années de remboursement. On note r cette valeur.
Le but est de déterminer le montant a(n) de l'amortissement n années après l'emprunt, puis la valeur de r.

1. a) montrer que, à l'issue de la 1ère année, on a la relation r=a(1)+400
b) montrer que, à l'issue de la 2nde année, on a la relation r=a(2)+500*(10000-a(1))
c) en déduire l'expression de a(2) en fonction de a(1)


2.Soit b(n) le montant de l'emprunt qu'il reste à rembourser à l'issue de la n-ième année. Remarquez que b(1)=10 000 et que, pour tout n, b(n-1)-b(n)=a(n)
a) montrer que, à l'issue de la n-ième année, on a la relation : r= a(n) + 0,04b(n-1)
b) montrer que, à l'issue de la (n+1)-ième année, on a la relation : r= a(n+1) + 0,04b(n)
c) En déduire que a(n+1)=1,04a(n).


3. Quelle est la nature de la suite a(n) ? Exprimer a(n) en fonction de n et de a(1)


Si une âme charitable passe par là ... J'espère qu'elle trouvera les réponses ! Bonne chance à vous, et à moi surtout car je cherche toujours ! ...


PS : L'exercice ne se termine pas comme ça, en queue de poisson, il y a 2 autres questions mais je les résout en ce moment !

[Starfunk]

Venez le lire au moins !!! :cry:

[Quidam]

Venez le lire au moins !!!

Des torrents de larmes après 20 minutes, c'est exagéré ! Sache que ceux qui répondent sont des volontaires qui oeuvrent bénévolement ! Certains jours, il y en a beaucoup, certains autres moins ! En tout état de cause, attendre une paire d'heures avant la première réponse n'est pas rare ! Alors, du calme ! Ya pas le feu au lac !

Qu'as-tu fait jusqu'à présent ?

[Starfunk]

"les torrents de larmes" c'était parce que personne n'avait encore lu le message (je parle pas de répondre) mais je ne suis pas du tout pressé !
Quant à moi j'ai fait la première partie que je n'ai pas posté (puisque je l'ai finie, et elles ne sont visiblement pas liées pour ce que j'ai résolu de cette partie là). J'ai résolu le 1) a) et quelques réponses par ci par là mais le 1)b) est incompréhensible ...
Je m'excuse si je vous ai paru pressé !

[Quidam]

1. a) montrer que, à l'issue de la 1ère année, on a la relation r=a(1)+400
b) montrer que, à l'issue de la 2nde année, on a la relation r=a(2)+500*(10000-a(1))

La formule r=a(2)+500*(10000-a(1)) est manifestement fausse ! Soit tu t'es trompé en recopiant, soit l'énoncé est responsable de cette erreur !
Comment as-tu fait pour résoudre 1.a) ?
Je suppose que tu as dit qu'au bout d'une année, les intérêts s'élevaient à Ct (en posant t=4%=0.04, bien sûr), et qu'en conséquence l'amortissement a(1) était r-Ct :
a(1)=r-Ct.
Comme Ct=10000*0.04, ça fait 400 et :
a(1)=r-400 !
Eh bien, puisqu'il y a eu un amortissement de a(1), le capital restant dû après le premier paiement de la somme r est : C-a(1) ! Tu n'as qu'à recommencer exactement le même raisonnement avec C-a(1) au lieu de C ! Tu ne trouveras pas la formule de l'énoncé, mais ça ressemblera ...

[Starfunk]

Pour la question a, j'ai eu le même raisonnement
Pour le b, c'est ce que je pensais! Et aucune erreur de retranscription, le DM est polycopié ! Je répète au cas ou : 1)b) r=a2 + 500*(10000 - a1)

Merci beaucoup au passage !

[Quidam]

Pour la question a, j'ai eu le même raisonnement
Pour le b, c'est ce que je pensais! Et aucune erreur de retranscription, le DM est polycopié ! Je répète au cas ou : 1)b) r=a2 + 500*(10000 - a1)

Merci beaucoup au passage !

Dans ce cas, c'est donc le polycopié qui est faux.
a(1)=r-Ct
a(2)=r-(C-a(1))t=r-(10000-a(1))*0.04
Donc r=a(2)+0.04*(10000-a(1))
Voilà la bonne formule !
L'énoncé fait donc deux erreurs ! D'un part il suppose que le taux est 5% et non 4% comme cela avait été dit au début, et confirmé par la question 1)a) ! D'autre part, il se trompe d'un facteur 100 ! Il aurait dû écrire :
r=a(2)+400*(10000-a(1))/100 !

[Starfunk]

J'ai résolu le c), Mais le 2. me pose encore problème, surtout le "b(n-1)" dans le a) ! Aidez moi svp !

[Quidam]

J'ai résolu le c), Mais le 2. me pose encore problème, surtout le "b(n-1)" dans le a) ! Aidez moi svp !

C'est toujours pareil !
Si le capital restant dû est b(n) à la fin de la période n, alors, tout comme :
a(1)=r-Ct
et
a(2)=r-(C-a(1))t

on a :

a(n+1)=r-b(n)t
ou encore :
r=a(n+1)+b(n)t
soit :
r= a(n+1) + 0,04b(n)

[Starfunk]

C'est réglé ! Jviens de tout finir, merci !

[chazy_1S]

je blok total pr fR mn dm éD mwa svp voila l'énonC:

Somme de deux fonctions.Déplacement d'un mobile symétrie.

On supose que f et g snt deu fct défini sr un mm interval I,tL ke pr tt x de I f(x)+g(x)+c,c étan un nb fix
1/ Montré ke le courb Cf et Cg snt snt symétrik par rapor a la droit d'equat° y=c/2
2/aplicat°
Un mobile se déplac sr un axe d'1 pt A juska 1 pt B. On not d(t) la distanc parcouru par ce mobil a la date t,ap sn Dpar,et r(t) la distanc ki lui rest a pacourir avt d'ariV en B. Tracé la courbe représentative de la fonction r

[Quidam]

je blok total pr fR mn dm éD mwa svp voila l'énonC:

Apparemment, tu n'as pas lu le règlement

Il est notamment interdit :

De parler en SMS - manque de politesse flagrant

De multiposter pour essayer d'avoir plus de réponses : tu rêves !

En outre, bien que ce ne soit pas explicitement mentionné dans le règlement, il est évident que poster dans le fil d'un autre en le polluant est également malpoli et par conséquent interdit !