Systèmes

[lukasbasuyau]

Bonjour, il se trouve que je dois faire un exo assez tordu, voici l'énoncé:

Deux baleines nageait tranquillement en ligne droite, à 6 km/h en plein océan antarctique. L'une d'elle eut soudain envie d'aller plus vite. Elle partit ainsi a 10 km/h sans changer de direction. Puis elle fit demi-tour brusquement, et revint, a la même vitesse auprès de son amie qui n'avait pas modifié pendant ce temps là ni sa vitesse, ni sa direction. Sachant que nos deux baleines se sont quittées a 9h15 et se sont retrouvées a 10h, quelle heure était il lorsque la plus rapide a fait son demi tour?

Et voila...

Il faut faire ensuite un schéma avec les points A, où se quittent les baleines, B, où s'effectue le demi tour, et C, les retrouvailles.
Prendre pour inconnues d=AB et t le temps jusqu'au demi tour.

Merci de bien vouloir m'aider...

[lukasbasuyau]

quelqu'un a une idée?

[BkM[123]]

On va faire un schéma (rustique ^^) pour commencer :

|----------------------------------------|----------------------|
A.......................................................M...............................B

A : point de départ (où la baleine accélere)
B : point de retour (la baleine revient en arrière)
M : point de rencontre (les deux baleines se retrouvent)

Voilà. On nous donne dans l'énoncé quelques valeurs :

v1 = 6km/h [vitesse de la première baleine]
v2 = 10km/h [vitesse de la seconde baleine]
t(i) = 9h15mn [heure du départ]
t(f) = 10h00mn [heure de rencontre]


On nous donne des vitesses et des temps. Il va donc falloir, clairement, raisonner en terme de distance, puisque c'est ce que l'on va pouvoir déterminer à partir des valeurs proposées.

Sans but précis, cherchons à déterminer la distance parcourue par la 1ere baleine puis par la deuxieme, plus rapide.
Pour cela, on utilise la relation : d = v * t (d en km, v en km/h, et t en h).

D'après les données de l'énoncée les baleines ont nagé t = 45mn entre l'heure de départ et celle de rencontre, soit t = 0,75h.

Ainsi :
d1 = v1 * t = 6 * 0,75 = 4,5km
d2 = v2 * t = 10 * 0,75 = 7,5km

La premiere baleine a parcouru 4,5km et la deuxieme 7,5km.
Maintenant que l'on a calculé ces valeurs, il est grand temps de se demander si l'on peut en tirer quelque chose.

A chaud, il est impossible d'en tirer quoi que ce soit. Pour pouvoir les exploiter et intérpréter, il faut les appliquer au schéma :


<------------------------------- 4,5km + x --------------------->
|----------------------------------------|----------------------|
A<------------------- 4,5km ------------->M<---------- x km ---->B

Il est difficile de préciser la distance d2 sur un dessin, car il s'agit d'un chemin "composé" : un aller puis un retour de longueur différente. On n'a donc toujours pas utilisé cette valeur.

Sur le schéma, la distance d2 est égale à quoi ? Facile !

d2 = aller + retour = AB + MB = 4,5 + x + x = 4,5 +2x

On constate donc qu'il nous est facile de déterminer la valeur de x :

d2 = 4,5 + 2x <=> 2x = d2 - 4,5 <=> x = (d2 -4,5)/2
En remplaçant, on trouve : x = 1,5km.

Maintenant, on se calme et on réfléchit à la question posée. On cherche à déterminer l'heure à laquelle la deuxieme baleine a atteint le point B. Cela revient à chercher le temps qu'elle a mis pour parcourir la distance AB. Or, on connait sa vitesse et l'on vient de déterminer suffisament de parametres pour calculer la distance AB. On peut donc estimer le temps qu'elle a mis pour parcourir cette distance et donc finalement répondre à la question !

En route vers la gloire ! :)

AB = AM + MB = 4,5 + 1,5 = 6km
v2 = 10km/h

Donc : t = AB / v2 = 6 / 10 = 0,60h
Et ca fait combien de minutes ? t = 0,70 * 60 = 36mn

Donc, finalement, la baleine fera son demi-tour à 9h15 + 36mn = 9h51mn !

[lukasbasuyau]

Merci beaucoup pour la réponse, je suis impréssioné que tu ais répondu si vite...

[lukasbasuyau]

Je sais que c'est beaucoup demander mais si tu veux bien m'aider, ca serait sympa!
Voila l'énoncé:

Lors d'un rallye de vielles voitures, 3 automobilistes partent d'un même lieu sur la même départementale:

- le 1er à 9 h, a la vitesse de 40 km/h.
- le 2ème à 10h, a la vitesse de 30 km/h.
- le 3ème à 11h, a la vitesse de 60 km/h.

Il faut utiliser une representation graphique et détailler la démarche pour déterminer à quelle heure le 3ème automobiliste se trouvera a égale distance des 2 premiers. (On demande une valeur approchée à 1/4 d'heure près.)
Déterminer la solution par le calcul.

Si t'as le temps d'y réfléchir, ca serait sympa...

[lukasbasuyau]

up up up :we:

[BkM[123]]

Hellow ami matheux !

Je te tape la solution dès que possible (bientôt) :)

[BkM[123]]

Bon, j'y suis ! :)

Comme d'habitude, on pose les données de l'énoncé, on regarde ce que l'on peut en tirer comme informations, puis on applique sur un schéma tout ce que l'on a réussi à apprendre et finalement, on réfléchit ^^


Donc, l'énoncé nous donne deux informations sur trois automobilistes : l'heure de départ et la vitesse. Ainsi :

T(A1) = 9h00 ; v(A1) = 40km/h
T(A2) = 10h00 ; v(A2) = 30km/h
T(A3) = 11h00 ; v(A3) = 60km/h

Cet énoncé a une originalité, c'est que chacun des cas ne peut pas être traité suivant une même situation initiale. Le problème ? Le temps durant lequel les automobilistes ont roulé. En effet, si l'on ne se débarrasse pas tout de suite de ce problème, il nous collera durant toute la reflexion. Donc, ce que l'on va tirer des données de l'énoncé, c'est tout simplement une situation initiale.

Cette situation initiale peut-être considérée à 11h, date à laquelle tout les automobilistes sont en route. Pour travailler sur le problème à partir de 11h, il faut tout de même déterminer la distance parcourue par les deux premiers automobilistes.

A t=11h :

d(A1) = v(A1) * (t - T(A1) ) = 40 * 2 = 80km
d(A2) = v(A2) * (t - T(A2) ) = 30 * 1 = 30km


Maintenant, on devrait faire un schéma, seulement voilà, il faut nous demander dans quelle position le 3ème automobiliste, par rapport aux deux autres, peut être susceptible d'être à égale distance entre le premier et le deuxieme. Trois possibilités s'offrent à nous à première vue :

- soit il est derrière les deux 1ers automobilistes, ceux-ci étant au même point
- soit il est devant les deux 1ers automobilistes, ceux-ci étant au même point
- soit il est entre les deux 1ers automobilistes

Il faut en virer deux. Les deux premiers sont évidemment impossibles ! Le premier automobiliste part le premier et va plus vite que le deuxième automobiliste. Il ne peut donc pas se faire rattraper et les deux premiers automobilistes ne peuvent pas se trouver au même point.

On va donc maintenant pouvoir réaliser notre schéma ! :)
A un certain instant t, recherché :


|-----------------------------|---------|---------|
O<..................d2..............>A2...........A3..........A1
<......................................d3............>
<....................................................d1.............>

d1 = d(A1) + d'(A1)
d2 = d(A2) + d'(A2)
d3 = d(A3) + d'(A3)

A2A3 = A3A1 [c'est la situation recherchée]

Les distances d' sont les distances parcourues par les automobilistes à partir de 11h jusqu'à l'instant t.

Exploitons un peu tout ça :
d'(A1) = v(A1) * t'
d'(A2) = v(A2) * t'
d'(A3) = v(A3) * t'

Ainsi :
d1 = 80 + v(A1) * t'
d2 = 30 + v(A2) * t'
d3 = v(A3) * t'

Merveilleux ! On a un système ! Mais à priori, grande déception, on ne peut pas le résoudre comme ça. Il reste maintenant plus qu'à réfléchir... Avec l'habitude, on pense vite à établir une relation entre d1, d2 et d3.

En effet, plus haut, qu'avions-nous écris :

A2A3 = A1A3

Or :
A2A3 = d3 - d2
et
A1A3 = d1 - d3

D'où :
d3 - d2 = d1 - d3

Il reste plus qu'à remplacer ! Ca sent bon la fin du problème ! :we:

t'*v(A3) - 30 - t'*v(A2) = 80 + t'*v(A1) - t'*v(A3)

<=> t' * (v(A3) - v(A2) -v(A1) + v(A3)) = 110

<=> t' = 110 / (2v(A3) - v(A1) - v(A2))
<=> t' = 110 / (2*60 - 40 - 30)
<=> t' = 2,2h
<=> t' = 2h12mn

Donc, finalement, la date à laquelle le troisième automobiliste se trouvera à égale distance des deux autres automobilistes est : t = 11 + 2,2 = 13h12mn

La question nous demande d'arrondir au quart d'heure près. La réponse est donc t = 13h15mn

Voilà ! N'hésites pas à envoyer d'autres problèmes de ce style, j'adore ça ! :)

[chan79]

Salut


Remarque pour les baleines, une autre approche (différente, pas meilleure)
Si on fait un schéma,les segments [OA] et [AB] correspondent aux 2 trajets de la baleine rapide et [OB] à celui de l'autre.
Il faut trouver les coordonnées de A.
Si l'origine du temps est à 9,25 h (9h15 min), les coordonnées de B sont 0,75 pour l'abscisse et 6*0,75 soit 4,5 pour l'ordonnée : B(0,75;4,5)
La pente de (OA) est 10
La pente de (AB) est -10
La pente de (OB) est 6
L'équation de (OA) est y=10x
L'équation de (AB) est y=-10x+b et comme les coordonnées de B vérifient cette équation 4,5=-10*0,75+b donc b=12
IL faut donc résoudre
y=10x
y=-10x+12

donc 10=-10x+12
20x=12
x=0,6 h soit 36 min
Voila
A+

[BkM[123]]

Bravo pour le raisonnement !! :)

Original ^^

[lukasbasuyau]

Les deux raisonnements on l'air correct pour l'exercice de la baleine,et merci de ton aide précieuse pour le second exercice BkM!Pour te remercier,je vais chercher d'autres exercices du style que j'ai déjà fait,vu que tu semble tant aimer ca! :zen:

[chan79]

Salut
Ma méthode pour l'exo 2

L'origine du temps est 9h
La droite d1 correspond au trajet de la première voiture
son équation est y=40x
La droite d2 correspond au trajet de la seconde voiture
son équation est y=30(x-1)
La droite d3 correspond au trajet de la troisième voiture
son équation est y=60(x-2)
Il suffit donc de résoudre
40x-60(x-2)=60(x-2)-30(x-1)
40x-(60x-120)=(60x-120)-(30x-30)
40x-60x+120=60x-120-30x+30
-50x=-210
donc x=4,2
L'heure cherchée est donc 9+4,2=13,2 h soit 13h12 min
On peut vérifier que la 1 aura parcouru 4,2*40=168 km
la 2 aura parcouru 30*3,2=96 km
la 3° aura parcouru 60*2,2=132 km
or (168+96):2=132 la 3 est bien à égale distance des deux autres.
A 13h15 elle ne l'est plus !