Une limite bien mystérieuse

[BkM[123]]

Bonjour à tous !

Je suis récemment (à peu près une semaine) tombé sur une limite bien coriace que je n'arrive pas à déterminer. J'ai pourtant tout essayé :

factorisation des termes, changements de variable diverses, recherche de limites particuliéres connues avec ou sans changement de variable, recherche d'une identité remarquable et même, expression conjuguée (pour vous dire qu'elle m'a poussé à bout ^^).

Bref, après une semaine de recherche infructueuses, je viens faire appel à vous. Voici la fonction dont il est question :

f(x) = x² * ln(1 - (1/x)) + x

Il faut déterminer la limite de cette fonction en -oo.

"Boah, ça m'a pas l'air bien compliqué cette histoire :)" . Et pourtant... :briques:

Je n'ai pas pu résister à la tentation de chercher la limite avec ma calculette qui m'affirme que celle-ci est égale à -1/2.

Donc, bonne chance à tous, et merci d'avance à ceux qui pourront m'aider ! :)

[fonfon]

salut as-tu essayé de poser X=1/x donc X->0-

[BkM[123]]

Oui ! En fait, j'ai posé X = - 1/x

Dans ces conditions, en simplifiant un petit peu on trouve :

f(x) = 1/X² * ln(1 + X) - 1/X
<=> f(x) = (ln(1+X) / X) * 1/X - 1/X

On reconnait la limite connue :

lim ln(1 +x) / x = 1
x->0

Mais après, je ne tombe que sur des formes indéterminées :hum:

[amine801]

slt
utilise

[fonfon]

salut amine801 je crois que

[amine801]

oui oui simple erreur de frape

[BkM[123]]

salut amine801 je crois que

Effectivement...

Sinon, amine, je ne vois pas trop où je peux arriver avec tout ça... :/
Je cherche activement ^^

Comme l'a dit fonfon, pour avoir un terme qui tende vers 0. On a deux changement de variable possibles :

X = 1/x ou X = exp(x).

Le deuxième est à éliminer d'entrée puisque la fonction exponentielle n'est pas définie pour des termes négatifs.

Donc on pose X= 1/x;

Alors : X -> 0- et x = 1/X; x² = 1/X².
On a alors :

f(x) = 1/X² * ln(1 - X) + 1/X

f(x) = (ln(1-X) / X) * 1/X + 1/X

On a donc notre fameuse expression ln(1-X)/X avec X -> 0. On est contents.
Mais nous somme toujours sur une forme indéterminée. Sous cette forme :

lim f(x) = oo - oo
X -> 0-

Il faudrait donc factoriser. Le terme commun évident est 1/X :

f(x) = (1/X)*( (ln(1-X)/X + 1)

Mais là encore, forme indéterminée :
lim f(x)
X -> 0- = -oo * 0

Et là je me sens coincé :briques:

[amine801]

[BkM[123]]

J'y ai cru mais c'était trop facile ^^

Tu t'es trompé sur l'expression de départ. Tu as mis - 1/x au lieu de + x.
Avec ton raisonnement, on abouti à oo - oo.

Forme indéterminée =(

[amine801]

ok je me suis trompe en recopiant la fonction (parfois je suis distrait :we: )
c'est toujour la meme
methode mais avec...............

[amine801]

connait-tu les devlopement limité ou meme la regle de l'hospital

[BkM[123]]

Hmmm. Aucune idée de ce que ca peut être ^^

M'enfin la limite c'est pas +oo !

[amine801]

avec un DL je trouve (-1/2)

[BkM[123]]

C'est à priori ce qu'il faudrait trouver XD

Mais je vois vraiment pas comment... je désespére :'(

[amine801]

si tu peux utilise

[felix59]

http://gamaniak.mut1.e-m.fr/vid/amel-bent-string-gamaniak-com.wmv

[BkM[123]]

Je ne pense pas pouvoir utiliser cette limite. Elle est pas dans mon bouquin ^^

Je suis de niveau Terminale S. :/
Merci de tes efforts ^^

[amine801]

c'est pas difficile a demontrer si tu utilise la limite dont on a parle precedament
ainsi tu poura l'utilise :we:

[BkM[123]]

Bon bon bon. Je vais essayer ça alors :)

Je donnerais des nouvelles bientôt ^^

[BkM[123]]

Fichtre ! Mazette !

Mais comment diable, foutreDieu, arrives-tu à dégager la forme :

ln(1 / u) / (u + u²/2 )

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