La ficelle et les deux carre 2nd

[biboun]

bonsoir!!!!

Si kelk'un pourrait maider pour ce probleme ca ne serait pa de refus:

on coupe une ficelle de 32 cm de long en deux morceaux avec lesquels on forme deux carre
ou doit t-on couper la ficelle pour la somme des aires des 2 carre soit la plus peite possible?
appeler en cm le cote du carre 1

merci davance

[lapras]

Salut,
La longueur de chaque morceau de ficelle est égale au périmetre du carré qu'on va former grace a ce bout de ficelle !
or le périmetre d'un carré de coté x est : 4x donc imaginons qu'on coupe un morceau de x cm de ficelle , il restera 32 - x cm pour le périmetre du deuxieme carré !
Soit P1 le périmetre du carré 1 et a sont coté :
P1 = x = 4a
x = 4a
a = x/4
Soit A1 l'air du premier carré :
A1 = a²
A1 = x²/16

Soit P2 le périmetre du carré 2 et b sont coté :
P1 = 32 - x = 4b
32 - x = 4b
a = 8 - x/4
Soit A2 l'air du carré 2 :
A2 = a²
A2 = (8 - x/4)²
A2 = 64 - 4x + x²/16

A1 + A2 = x²/16 + 64 - 4x + x²/16
A1 + A2 = x²/8 - 4x + 64

Apres je ne sait pas faire sans graphique : comment trouver le minimum de la fonction f(x) = x²/8 - 4x + 64 sans faire de graphique, uniquement par calcul ?

[Rudy]

Bien vu Lapras,

Il faut donc trouver la valeur de x pour laquelle l'expression
y = x²/8 - 4x + 64 est la plus petite.
Pour rappel : si y = ax² + bx + c alors y est minimum quand x = -b/2a
Donc ici y est min quand x=-(-4)/(2.1/8)=4/(1/4)=16
Le périmètre d'un carré sera donc de 16 cm, et pareil pour le périmètre de l'autre. Il faudra donc couper la ficelle en deux parties égales.
Le mieux est de mémoriser la formule du y minimum qui est en x = -b/2a .
Si non, dans certains exercices on peut se dire que ce x est entre les deux racines. Il suffira donc de faire la somme des racines divisées par deux.

Rudy

[lapras]

Salut, merci bcp !
Mais juste es ce que on peut me le démontrer (oui, car j'aime pas admettre une formule :cry: ) ??

merci

[biboun]

merci beaucoup

[Rudy]

Bien sûr Lapras, tu as raison.

Une équation du second degré est représentée par une parabole dans le repère cartésien. Par exemple
y = x²– 3x + 2 est représentée par une parabole incurvée vers le bas et un petit calcul nous permet de savoir que cette parabole rencontre l’axe ox en x = 1 et x = 2. Ainsi bien sûr, c'est exactement entre 1 et 2 qu'il y aura l’axe de symétrie. Cet axe sera donc en x = 1,5.
Si à présent nous avions une équation du second degré dont on sait pertinemment que les racines sont en –15 et 26. Nous saurions donc que l’axe de notre parabole passera exactement entre –15 et 26. C’est-à-dire qu’il nous faudra chercher ce que l’on appelle la moyenne arithmétique de –15 et 26, c’est-à-dire la somme de ces deux nombres divisées par deux. Notre axe de symétrie passera donc
en x = (-15+26)/2 = 5,5.
Si enfin, nous considérons d’une façon générale l’équation du second degré y = ax²– bx + c nous savons que l'axe de la parabole qui la représente sera exactement placé entre ses deux racines. Il nous faut donc chercher la moyenne arithmétique des deux racines pour savoir où passera cet axe. La première racine étant (–b + ;);))/2 et la deuxième (–b - ;);))/2 la moyenne arithmétique de ces deux racines sera donc :

(–b + ;);))/2 + (–b - ;);))/2 divisé par 2

Si tu fais le calcul, il viendra x = -b/2a

Amicalement

Rudy

[Rudy]

Bien sûr à la place de (–b + ;);))/2 il faut lire (–b + ;);))/2a ;-)
où ;) = b²- 4ac

[lapras]

Salut,

J'ai quelques difficultés de vocabulaires et de compréhension sur ta démo :

-
si y = x²– 3x + 2 , alors la parabole fera une intersection avec l'axe de symétrie en 1,5 , cad entre x = 1 et x = 2
quel est le calcul que tu as fait pour trouver cette valeur ?

-
si la courbe est la représentation d'une équation du second degré,

on sait pertinemment que les racines sont en –15 et 26

c'est a dire ? Les racines de quoi ? (on a pas vu ça en seconde :s )


-
meme question : racine de quoi ?
Pourquoi la formule de la racine est -elle :

(–b + ;))/2
??(tu peux me de démontrer ?)

et aussi :
= B² - 4A
tu peux me le démontrer plize ? :hein:

Voila, donc j'espere que je ne te déranges pas avec toutes mes questions, c'est que des que je vois un truc en maths je veux tout savoir sur tout et rien admettre, j'aime pas ce défaut mais bon c'est plus fort que moi

Merci beaucoup d'avance !

[Rudy]

Tu ne me déranges pas Lapras, tu as raison de vouloir comprendre d'où viennent ces formules. Bon, je vais essayer de t'expliquer le plus simplement, mais il faudra tout de même un peu t'accrocher. Je mettrai ça en fin de soirée aujourd'hui (a mon avis pas avant minuit). En attendant révise les produits remarquables, en tout cas (a+b)²= a²+2ab+b² et (a-b)²=a²-2ab+b²
Par exemple, sais-tu retrouver les produits remarquables qui sont derrière
a² + 4ab + b²
4a²-2ab+b²
a²+2abc+b²c²
et aussi
x2 + 4x + 4
4x2 + 6x + 9

A +

[Rudy]

Les réponses sont
a² + 4ab + b²= (a+2b)²
4a²-2ab+b²= (2a-b)²
a²+2abc+b²c²= (a+bc)²
x² + 4x + 4 = (x+2)²
4x² + 6x + 9 = (2x+3)²

c'était facile, bien sûr.
A présent, que faut-il mettre à la place des petits points pour que les égalités suivantes soient vraies ?
( a + ...)² = a² + 4ax + ...
(... + b )² = 4a² + ... + b²
(... - ...)² = x² - 10xy + ...
(... - ...)² = 5x² + 2;)5 .ax + ...

J'attendrai que tu m'aies répondu avant de t'envoyer mon prochain message.
Pense à m'expliquer un peu comment tu fais.

Rudy

[Quidam]

Les réponses sont
a² + 4ab + b²= (a+2b)²
4a²-2ab+b²= (2a-b)²
a²+2abc+b²c²= (a+bc)²
x² + 4x + 4 = (x+2)²
4x² + 6x + 9 = (2x+3)²

Attention, il y a des erreurs !
a² + 4ab + 4b²= (a+2b)²
4a²-4ab+b²= (2a-b)²
4x² + 12x + 9 = (2x+3)²

[Rudy]

Merci Quidam ;-)
Voila ce qui arrive quand on est pressé !
Pas grave, mon dernier message est correct, c'est ce qui compte.

[lapras]

Salut, je te fais ça tout de suite ^^

( a + 2x)² = a² + 4ax + 4x
(2a + b )² = 4a² + 4ab + b²
(x - 5y)² = x² - 10xy + 25y²
(x;)5 - a)² = 5x² + 2;)5 .ax + a²

je pense que c'est bon non ?

j'ai hâte de la démonstration :ptdr:

[Rudy]

Bravo, tu as juste oublié un petit "moins" à la dernière ligne. Mais bon c'est tellement mieux que moi qui ai réussi a faire trois fautes sur quatre lignes )
Pour ce qui suit, je te rassure, il n'y aura pas de faute. il s'agit donc progressivement d'arriver à la formule générale qui permet de trouver les racines d'une équation du second degré (ces mots seront expliqués au fur et à mesure). Démontrer que quelque chose est vrai s'appelle "faire une démonstration". Mais montrer comment on arrive à quelque chose en démontrant en même temps que cette chose est vraie, ça s'appelle "faire une démonstration heuristique". C'est une démonstration heuristique que je te propose ici. On n'arrivera donc que progressivement à la fameuse formule avec le delta (;)). Je te conseille de tout lire attentivement et de faire les exercices, ça te sera de toute façon profitable.
Voila, bonne lecture !

Introduction

Soit l’expression suivante x² + 2x + 1
Nous dirons qu’il s’agit d’une expression du second degré en x

Cette expression prend des valeurs différentes selon x, par exemple si x = 1 alors l’expression prend la valeur 4
car 1²+2.1+1 = 4

Si nous écrivons y = x² + 2x + 1 nous obtenons par exemple
Si x = 1 alors y = 4
Si x = 0 alors y = 1
Si x = 10 alors y = 121 etc

Demandons-nous à présent pour quel x notre expression vaudra 0.
C’est-à-dire que nous nous posons la question suivante :
Si x² + 2x + 1 = 0 alors x = ?

Résolution de x² + 2x + 1 = 0

Evidemment, le mieux serait de pouvoir isoler x à gauche de l’égalité, comme nous avions l’habitude de le faire jusqu’ici. Par exemple si 2x + 1 = 0 alors 2x = 0-1 donc x = -1/2

Mais ici, nous n’arrivons pas à isoler aussi facilement x à gauche (Essaye tu verra). Alors comment faire ?

En fait, la solution est facile si on fait remarquer -en fait, ça ne saute pas aux yeux- si on fait remarquer donc que
x² + 2x + 1 = (x+1)² ( se rappeler de (a+b)² = a² +2ab+b² )
Nous dirons que x² + 2x + 1 est le développement du produit remarquable (x+1).(x+1) c’est-à-dire (x+1)²
Car du coup, la question
Si x² + 2x + 1 = 0 alors x = ? revient au même que
Si (x+1)² = 0 alors x = ?
Et bien sûr la réponse est x = -1 car (-1+1)² = 0
Nous obtenons donc :
Si x² + 2x + 1 = 0 alors x = -1

Autre exemple :

x² + 4x + 4 = 0 x = ?

Solution : il faut voir que x² + 4x + 4 = (x+2)²
En fait, pour le voir plus clairement, on peut faire comme-suit :
Nous écrivons d’abord a² + 2ab + b² = ( a + b )² (formule générale)
Et exactement dessous x² + 4x + 4 = (… + …)²
Visiblement "a" ne peut valoir que x et b ne peut valoir que 2
Il est toutefois nécessaire de vérifier que 4x vaut bien 2ab, ce qui est le cas.
Nous obtenons donc x2 + 4x + 4 = 0 quand x = -2


Exercices (leurs solutions suivent) :
4x² + 6x + 9 = 0 alors x = ?
x² + 2/3 x + 1/9 = 0 alors x = ?
x² – 0,4 x + 0,04 = 0 alors x = ?
x² + 2.3 x + 3 = 0 alors x = ?
x² + 2x – 3 = 0 alors x = ?

Solutions :

4x² + 12x + 9 = 0 alors x = ?
devient (2x+3)² = 0 où il se vérifie bien que 2.2x.3 = 12x
Donc 2x + 3 = 0 ce qui donne x = -3/2

x² + 2/3 x + 1/9 = 0 alors x = ?
devient (x + 1/3)² = 0 en vérifiant bien que 2.x.1/3 = 2/3 .x
De là x = -1/3

x² – 0,4 x + 0,04 = 0 alors x = ?
devient (x - 0,2)2 = 0 où l’on peut vérifier que 2.x.0,2=0,4x
De là x = 0,2

x² + 2.3 x + 3 = 0 alors x = ?
devient (x +;)3)2 = 0 car 2.x.3 = 2;)3 .x
D’où x = -;)3

4x² + 3x + 9 = 0 alors x = ?
deviendrait (2x + 3)2 = 0 s’il se vérifiait que 2.2x.3 = 3x ce qui est faux. Donc notre méthode ne sera pas applicable ici !

x² + 2x – 3 = 0 alors x = ?
devient ??? il est impossible ici de trouver un quelconque produit remarquable dont le développement vaudrait
x² + 2x – 3 ! Comme précédemment, notre méthode ne pourra pas être appliquée à cet exercice. Nous allons de suite voir comment résoudre ce nouveau type d’exercice.

Résolution plus générale

Revenons au dernier exercice x² + 2x – 3 = 0 alors x = ?
Nous avons vu qu’il n’est pas possible de mettre
x² + 2x – 3 = 0 sous la forme ( … + … ) 2
Comment donc allons-nous trouver x dans ce cas là ?
Pour résoudre ce problème, il suffit de se souvenir de notre tout premier exercice qui ressemblait beaucoup à celui-ci.
En effet nous avions : x² + 2x + 1 = 0 qui revenait à (x+1)² = 0
Or ici nous avons x² + 2x – 3 = 0 alors x = ?

Ainsi il vient que :
x² + 2x – 3 = 0 peut s’écrire
(x² + 2x + 1) – 4 = 0 où nous avons isolé exprès x²+2x+1 qui vaut le produit remarquable (x+1)2. Ainsi nous obtenons successivement :
( x + 1 )² – 4 = 0
( x + 1 )² = 4 donc il vient les deux possibilités
( x + 1 ) = 2 et ( x + 1 ) = -2
donc x = 1 ou x = -3
Nous dirons qu’il y a deux solutions
à l’équation x² + 2x – 3 = 0. Nous dirons aussi que –3 et 1 sont les racines de l’équation y = x² + 2x – 3

Autre exemple :

Comment résoudre l’équation x² + 4x – 5 = 0 ?
C’est-à-dire comment répondre à la question
Si x² + 4x – 5 = 0 alors x = ?

Solution

D’abord cherchons un produit remarquable dont le développement s’approche de x² + 4x – 5, comme-suit :
x² + 4x + ? = ( ? + ? )²
Pour ce, nous écrirons et comparerons les deux lignes suivantes
x² + 4x + … = ( … + … )²
a² + 2ab + b² = ( a + b )²
Où nous voyons que forcément a² = x² donc que a = x
Nous obtenons donc :
x² + 4x + … = ( x + … )²
a² + 2ab + b² = ( a + b )²
Où nous voyons que 4x = 2ab
donc b = 4x/2a = 4a/2a = 2
Nous obtenons donc :
x² + 4x + 4 = ( x + 2 )²
a² + 2ab + b² = ( a + b )²

Le produit remarquable recherché est donc ( x + 2 )2 dont le développement est x² + 4x + 4

Dès lors, pour résoudre x² + 4x – 5 = 0 nous pouvons faire :
x² + 4x – 5 = 0 qui devient …
(x²+4x +4) – 9 = 0
( x + 2 )² = 9
x + 2 = 3 ou x + 2 = -3
x = 1 ou x = -5

Les racines de x² + 4x – 5 = 0 sont donc 1 et -5

En fait nous savons à présent résoudre n’importe quelle équation du second degré.

Exemple

Soit à résoudre x² – 6x – 7 = 0

Solution :
Recherchons un produit remarquable dont le développement soit proche
de x² – 6x – 7
Pour cela écrivons les deux lignes suivantes et comparons-les :

x² – 6x + … = ( … + … )²
a² + 2ab + b² = ( a + b )²
Nous obtenons que a = x donc nous complétons comme-suit :
x² – 6x + … = ( x + … )²
a² + 2ab + b² = ( a + b )²
ainsi 6x = 2ab revient à 6a = 2ab d’où nous tirons que b = 3
Il vient donc
x² – 6x + 9 = ( x + 3)²

Donc notre problème x² – 6x – 7 = 0 x = ?
Revient à résoudre (x² – 6x + 9)- 16 = 0
Ce qui donne… ( x - 3 )² – 16 = 0
( x - 3 )² = 16
( x - 3 ) = 4 et ( x - 3 ) = -4
x = 7 et x = -1
Les deux racines de l’expression x² – 6x – 7 sont donc 1 et –7.

Résolution générale algébrique

Soit à résoudre ax² + bx + c = 0 d’une façon générale.

Pour ce faire, nous referons exactement comme précédemment, c’est-à-dire comme s’il s’agissait d’une équation avec des nombres comme coefficients.
(C’est ici qu’il faudra un peu s’accrocher

Nous cherchons d’abord un produit remarquable dont le développement est proche de ax² + bx + c comme-suit :

ax² + bx + … = ( … + … )²

Pour nous y aider nous écrivons les deux lignes suivantes :
ax² + bx + … = ( … + … )²
A² + 2AB+ B² = ( A + B )²

Nous y voyons que A² = ax² donc A = a . x
Nous complétons donc comme-suit :

ax² + bx + … = (;)a . x + … )²
A² + 2AB+ B² = ( A + B )²

Puisque 2AB = bx alors B = bx/2A
B = bx/2;)a.x
B = b/2;)a

Nous obtenons finalement :

ax² + bx + b²/4a = (;)a.x + b/2;)a )²

Dès lors ax² + bx + c = 0 sera transformé en

(ax² + bx + b²/4a) - … = 0

Ainsi, si nous notons z ce que nous devrons mettre à la place des trois petits points, il vient :
b²/4a – z = c donc z = b²/4a – c

Nous obtenons donc (ax² + bx + b²/4a) – (b²/4a – c) = 0
ax² + bx + b²/4a = b²/4a – c
(;)a.x + b/2;)a )2 = b²/4a – c
a.x + b/2;)a = (b²/4a – c) ou a.x + b/2;)a = -;) (b²/4a – c)

je te laisse faire le calcul d’où tu obtiendras les deux racines :

x1 = (-b + ;) ) / 2 et x2 = (-b -;);) ) / 2

où (delta) = b2- 4ac

Pour conclure nous pouvons écrire :

Si ax² + bx + c = 0 alors x = (-b ± ;) ) / 2 où = b²- 4ac

Le est important car il montrera à lui seul s’il existe 0, 1 ou 2 racines.

Exemples.

Pour x² + 2x + 1 = 0
= 2² – 4.1.1 = 0 donc une seule racine car = 0
En effet x = (-2 ± 0)/ 2.1 où il vient uniquement x = -1

Pour x² + 4x - 5 = 0
= 4² – 4.1.-5 = 36 donc deux racines car > 0
En effet x = (-4 ± 36)/ 2.1 = (-4 ± 6)/ 2 = -5 et 1.

Pour x² + 2x - 3 = 0
= 2² – 4.1.-3 = -8 donc pas de racine car < 0
En effet, s’il y avait une racine, elle aurait pour valeur
x = (-2 + -8)/ 2.1 ou x = (-2 - -8)/ 2.1
donc cette racine ne peut pas exister puisque -8 n’existe pas.

Amicalement

Rudy

[lapras]

salut,

[CENTER]merci beaucoup[/CENTER]


Super démo, j'ai tout compris, je peux a présent utiliser la règle !
Franchement encore merci,

Bonne journée !
(vive les maths^^)