Polynomes et trigo.

par **Epsilon** » 09 Fév 2007, 09:27

bonjour ,
je suis en train de de reviser les cours sur les EDP
et je me bloque sur cette question
soit

et

monter que

est un polynome (en fonction de x ).

merci

par **fahr451** » 09 Fév 2007, 09:31

bonjour

on pose t = arcos x , cos t = x

T(x) = cos (nt) qui doit s exprimer comme un polynôme en cost

pour cela on utilise

cosnt = RE ( e^(int)) = Re (cost +isint)^n = développer par binôme

T = polynôme de chebychev de première espèce

par **andros06** » 09 Fév 2007, 09:34

Hello ;-)

Tu peux poser thêta=arcos(x) donc pour tout thêta , on a :

Tn(cos(thêta))=cos(n*thêta). Avec un ptit coup de trigo tu devrais t'en sortir

par **andros06** » 09 Fév 2007, 09:35

Aaaaargh. Fahr qui répond plus vite que son ombre ! (et que moi en l'occurence)

par **Epsilon** » 09 Fév 2007, 09:41

merci fahr
si j'ai bien compris
T(x)=cos(n*t)=Re

am I right?

par **Epsilon** » 09 Fév 2007, 09:51

mais je vois un polynome en de cos(t)
:triste: :triste: :cry:

par **fahr451** » 09 Fév 2007, 10:29

fais porter le n-k sur le cos plutôt

le terme i^k sin^k t est réel ssi i est pair k = 2p

il vaut (-1)^p (sin^2 t)^p = (-1)^p (1-cos^2t)^p : polynôme en cost

par **Epsilon** » 09 Fév 2007, 11:36

:we: :we: :we:
merci fahr et andros

par **abcd22** » 09 Fév 2007, 14:07

Pour démontrer l´existence des polynômes de Tchebychev (et aussi trouver le degré et le coef dominant mais c´est inutile ici) ça va plus vite en utilisant

et une récurrence.

par **Epsilon** » 09 Fév 2007, 14:32

salut abcd
tu ma donné une formule sans démonstration
est elle vérifié ?

perso je la connais pas !

par **abcd22** » 09 Fév 2007, 14:50

C´est un cas particulier de

, qui se démontre en écrivant

et en prenant la partie réelle. On a une formule analogue avec les sin en prenant la partie imaginaire, et on trouve une formule pour

par la même méthode.

par **Epsilon** » 09 Fév 2007, 15:01

:mur: :mur: ah oui c vrai
merci abcd
:we: :we:

par **fahr451** » 09 Fév 2007, 15:30

abcd je pense moi que ça va plus vite de donner directement l 'expression polynômiale pas de récurrence à faire; en revanche l 'expression est inutilisable( elle donne degré et coeff dominant cependant) et la relation de récurrence est nécessaire pour pratiquement toutes les questions qui traitent de ces polynomes.

par **Jonathan_** » 03 Mar 2007, 14:38

Est-ce-que vous avez une méthode pour avoir lemême résultat mais avec des cosinux hyperboliques... c'est à dire montrer que quelquesoit aIR, Tn(ch(a))=ch(n*a) ??? parce que j'ai essaye en decomposant avec les exponentielles, mais j'arrive pas a aboutir, je reste toujours coincé...

par **chadiou** » 03 Mar 2007, 14:49

slt vous pouvais m'aider aller voir mon exo sil vous plait

par **Jonathan_** » 04 Mar 2007, 12:37

Petit up... personne ne peut m'aider??

Polynomes et trigo.

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