Dérivation

par **Piastol** » 01 Mar 2007, 18:47

Voici l'énoncé de mon problème:
On coupe un fil de fer de 48 mètres en deux parties.
L'une permet de construire un carré, l'autre un triangle équilatéral.
Comment doit-on couper ce fil pour qu la somme des deux aires (du carré et du triangle) soit minimale?

J'y planche depuis le début de l'après-midi, et il me reste encore 8-9h de maths à achever, donc voilà =)

Merci à l'avance de votre aide.

par **jeje56** » 01 Mar 2007, 18:59

Soit a la longueur d'un côté du carré et b celle d'un côté du triangle :

On cherche a et b tels que a² + 1/2(b*(b/2)) soit minimal...
On sait aussi que : 4a + 3b = 48

PS : Pourquoi "Dérivation" pr titre du message ? lol

par **Piastol** » 01 Mar 2007, 19:02

On cherche a et b tels que a² + 1/2(b*(b/2)) soit minimal...
On sait aussi que : 4a + 3b = 48

Je suis d'accord, mais comment est-ce que je peux exprimer par écrit une équation qui montre qu'il faut des réels a et b tels que a² + 1/2(b*(b/2)/ soit minimal? C'est bien là mon problème en fait...

Pour le titre, je dis ça parce que l'exo est dans la section "Dérivation et applications de la dérivation" ^^

par **jeje56** » 01 Mar 2007, 19:04

Commence par résoudre le système je pense

par **Piastol** » 01 Mar 2007, 19:05

Oui mais le système en question c'est quoi? ^^

[4a + 3b = 48
[a² + 1/2(b*(b/2)) = ?

par **jeje56** » 01 Mar 2007, 19:09

Exact, je suis allé trop vite
En fait je pense que la dérivation intervient de la façon suivante :

On recherche un minimum de la fonction donnant la somme des deux aires : ceci correspond à une dérivée nulle de la fonction...

par **Piastol** » 01 Mar 2007, 19:12

D'où:

[4a + 3b = 48
[a² + 1/2(b*(b/2)) = 0

?

NB: L'aire d'un triangle équilatéral de côté b c'est 1/2 (b*(b/2))?

par **Piastol** » 01 Mar 2007, 19:21

Je crois avoir compris...
On a f (x) = a² + 1/2(b*(b/2))

On cherche un minimum, donc en gros on cherche

f ' (x) = 0

Soit:

f (x) = a² + 1/2 (b² / 2) = a² + b²/4

f ' (x) = 2a + b/2

[4a + 3b = 48
[2a + b/2 = 0

[b = 16 - 4/3 a
[2a + (16 - 4/3 a) / 2 = 0

Et là on trouve?

Si c'est ça merci énormément

par **Piastol** » 01 Mar 2007, 19:35

J'ai tort? ^^

par **Piastol** » 01 Mar 2007, 20:09

up
Je voudrais savoir si je me suis égaré ou si j'ai le bon bout de la corde

par **jeje56** » 01 Mar 2007, 20:13

Tu considères a et b comme deux variables donc ton "f(x)" c'est en fait f(a,b), mais qd tu dérives tu procèdes comme pr une fonction d'une seule variable, là est le problème je pense...

PS : Tu as vu les fonctions de plusieurs variables ?... Je ne pense pas...

par **Piastol** » 01 Mar 2007, 21:22

Non, j'ai pas vu les fonctions de plusieurs variables

par **Piastol** » 02 Mar 2007, 11:33

Nous n'avons aps fait les dérivées de 2 variables, donc jusqu'à présent je ne comprends toujours pas :/

[b = 16 - 4/3 a
[2a + (16 - 4/3 a) / 2 = 0 (e)

Pour (e) : 2a + (48-4a)/6 = 0 <=> 8a + 48 = 0
<=> a = - 6

Youpi, spa ça :/

par **rene38** » 02 Mar 2007, 11:53

Bonjour
Une proposition :
J'appelle x (en m) la longueur du morceau destiné à construire le carré.
Le reste soit 48-x servira à fabriquer le triangle équilatéral.
Tiens, une seule variable ...
Le carré a donc un côté qui mesure x/4 et le triangle un côté de (48-x)/3
L'aire du carré est donc

La hauteur du triangle équilatéral = son côté

soit

L'aire du triangle équilatéral est donc

soit

Reste à calculer l'aire totale en additionnant les deux aires et chercher le minimum par un calcul de dérivée.

par **Piastol** » 02 Mar 2007, 12:01

C'est ce que j'ai fait, mais je tombe sur un résultat d'environ 54...
Je fais le calcul avec des deltas, et le minimum est atteint en 54

par **Piastol** » 02 Mar 2007, 12:26

(3 + [3)x² - 192[3 x + 2304[3
------------------------------
48

Excusez-moi, les [ sont des racines carrées et je ne sais pas comment insérer des symboles

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