voila mon équation:
mon question est de detrminer une solution
merci d'avance
équa diff & séries entières
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équa diff & séries entières
par Prison Break » 01 Mar 2007, 12:46
bonjour tout le monde
voila mon équation:
mon question est de detrminer une solution)
développable en série entière
merci d'avance
voila mon équation:
mon question est de detrminer une solution
merci d'avance
par buzard » 01 Mar 2007, 15:36
bonjour,
avec le changement de variable z=xy
tu arrive à z"+z=0
soit z = a cos x + b sin x
ensuite tu regarde à quels conditions ces solutions sont DSE.
avec le changement de variable z=xy
tu arrive à z"+z=0
soit z = a cos x + b sin x
ensuite tu regarde à quels conditions ces solutions sont DSE.
par Prison Break » 01 Mar 2007, 17:04
merci pour le changement de variable
mais je suis obligé de passer par les séries entières
mais je suis obligé de passer par les séries entières
par Prison Break » 01 Mar 2007, 17:23
oui j connais tous les étapes mais il faut un changement d'indice :triste: je ne sais pas ou?
par Prison Break » 01 Mar 2007, 18:03
alors je trouve les résultats suivantes:
et
=^2})
donc
=
d'apres vous c kel fonction ?
et
donc
d'apres vous c kel fonction ?
par buzard » 04 Mar 2007, 15:45
Bonjour,
il y un terme que je n'ai pas vue apparaitre dans vos réponses, il s'agit de relation de récurrence.
On s'intéresse donc aux solutions DSE (en zéro par déduction de principe), c'est-à-dire tels que la fonction égale son développement en série de Taylor.
En ce qui concerne les décalages d'indices
Tout d'abord on écrit les séries par dérivation classique
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\Large \begin{array}{rcccl}<br />y & = & \bigsum_{n \ge 0} & a_n & x^n \\<br />y' & = & \bigsum_{n \ge 1} & na_n & x^{n-1} \\<br />y" & = & \bigsum_{n \ge 2} & n(n-1)a_n & x^{n-2}<br />\end{array})
Ensuite on écrit les termes à obtenir
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\Large \begin{array}{rcccl}<br />xy & = & \bigsum_{n \ge 0} & a_n & x^{n+1} \\<br />2y' & = & \bigsum_{n \ge 1} & 2na_n & x^{n-1} \\<br />xy" & = & \bigsum_{n \ge 2} & n(n-1)a_n & x^{n-1}<br />\end{array})
Et on fait les décalages d'indices nécessaires pour n'obtenir des termes en x^n dans les séries
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\Large \begin{array}{"rccclrc"}<br />xy & = & \bigsum_{n \ge 1} & a_{n-1} & x^n & , & [n'=n+1;\ n=n']\\<br />2y' & = & \bigsum_{n \ge 0} & 2(n+1)a_{n+1} & x^n & , & [n'=n-1;\ n=n']\\<br />xy" & = & \bigsum_{n \ge 1} & n(n+1)a_{n+1} & x^n & , & [n'=n-1;\ n=n']<br />\end{array})
pour y voir plus claire tu peut écrire les séries par extension
voila une méthode pour bien calculer les décalages d'indice dans les séries. Il faut faire attention il y souvent des termes qui sortent du lot et qui permettent d'initialiser les récurrences.
Pour conclure, il faut extraire de ces solutions celles qui on un rayon de convergence non nulle, sinon il ne s'agit pas d'une DSE. Voila tout est dis, enfin presque rien.
il y un terme que je n'ai pas vue apparaitre dans vos réponses, il s'agit de relation de récurrence.
On s'intéresse donc aux solutions DSE (en zéro par déduction de principe), c'est-à-dire tels que la fonction égale son développement en série de Taylor.
En ce qui concerne les décalages d'indices
Tout d'abord on écrit les séries par dérivation classique
Ensuite on écrit les termes à obtenir
Et on fait les décalages d'indices nécessaires pour n'obtenir des termes en x^n dans les séries
pour y voir plus claire tu peut écrire les séries par extension
voila une méthode pour bien calculer les décalages d'indice dans les séries. Il faut faire attention il y souvent des termes qui sortent du lot et qui permettent d'initialiser les récurrences.
Pour conclure, il faut extraire de ces solutions celles qui on un rayon de convergence non nulle, sinon il ne s'agit pas d'une DSE. Voila tout est dis, enfin presque rien.
par mathelot » 04 Mar 2007, 18:31
buzard a écrit:bonjour,
avec le changement de variable z=xy
tu arrive à z"+z=0
soit z = a cos x + b sin x
ensuite tu regarde à quels conditions ces solutions sont DSE.
Bonjour,
buzard a résolu ton équation. les solutions sont de la forme:
Par contre
à l'origine. Le coeff
en série entière au voisinage de l'origine sont de la forme
Comment trouver ce résultat ?
On suppose que y est développable en série entière au voisinage de zéro:
en identifiant les séries , on trouve:
Les coefficients impairs sont tous nuls et la solution est paire.
Par récurrence immédiate, on montre que:
La solution y coïncide donc sur
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