Morphisme de groupe

[Vir]

Bah voila j'ai vu quelque part que lorsqu'on a une application :
f:X->Z avec f un morphisme de groupe,
On avait le droit de dire que l'image réciproque d'un sous groupe de Z était un sous groupe de X.
Et de meme l'image d'un sous groupe de X était un sous groupe de Z.

Mon problème est que je n'ai trouvé aucune démonstration, donc j'aimerais savoir d'ou on sort ça !
Merci :)

[fahr451]

bonjour
en notant multiplicativement la loi de X et e son neute

soit H un sous groupe de Z

et A = f^(-1) (Z)

O est dans H et f(e) = 0 donc e est dans A

soit a, a' dans A on a f(a) et f(a') dans H or
f(aa') = f(a) + f(a') dans H donc aa' dans A

soit a dans A f(a^(-1) = -f(a) or f(a) dans H donc -f(a) dans H et a^(-1) dans A

A est bien un sosu groupe de X

[Vir]

bonjour
en notant multiplicativement la loi de X et e son neute

soit H un sous groupe de Z

et A = f^(-1) (Z)

C'est pas plutot A=f^-1(H) ?

O est dans H et f(e) = 0 donc e est dans A

O c'est un point quelconque de H ou c'est zéro ?
Et pourquoi f(e)=0 ?

[Nightmare]

Bonjour :happy3:

f(e*e)=f(e)+f(e)
Comme e est neutre e*e=e
D'où f(e)=f(e)+f(e) donc f(e)=0

[Vir]

Ok merci à vous deux j'ai tout bien compris :)
Ca fait plaisir !

[Vir]

soit a dans A f(a^(-1) = -f(a) or f(a) dans H donc -f(a) dans H et a^(-1) dans A

Bon en fait nan j'ai une derniere question pour l'inverse, j'arrive pas a voir d'ou on sortais le fait que : f(a^(-1) = -f(a)

[fahr451]

bien sûr a = f^(-1) (H) lapsus scripturae

l image du symétrique par un morphisme est le symétrique de l 'image

en effet

f (a a^(-1) ) = f (e) = 0 = f(a)+ f(a^(-1) ) et le résultat