Probleme : suites

[sousoushi]

bonjour , je voudrai une aide pour 2 question que je n'arrive pas a resoudre.

Co est un triangle equilateral de coté 1. sur chacun des cotés de Co partagé en 3 segments egaux , on construit 3 nouveau triangles equilatéraux on obtient le polygone C1 ........ainsi de suite.



(désolé mes triangle ne sont pas très droits )

1/ calculer A1 A2 aire de C1 et C2

2/ demontrer que A(n+1)=An + (racine3)/12 (4/9)^n

3/ En déduire que pour tout n on a

An= Ao + (rac3)/12 (1+ 4/9 +(4/9)²+...+(4/9)^(n-1) )

je trouve A1=1/rac3 et A2= 10rac3 /27

pour la 2/ jai commencé à demontrer par récurrence .L' initialisation est simple mais je n'arrive pas a faire l hérédité.

merci d'avance de votre aide

[sousoushi]

dites moi si la méthode de la recurrence est bonne pour cette demonstration ou s'il faut une autre méthode?

[sousoushi]

jai reussi a faire la demonstration. An est une suite arithmetique mais je n arrive pas a faire la deduction !?!

[Oumzil]

salut ,
pour la deduction on a :
A(n+1)=An + (racine3)/12 (4/9)^n quelque soit n de IN
donc :on écrit cette relation n fois :
A(n)=An-1 + (racine3)/12 (4/9)^(n-1)
et A(n-1)=An-2 + (racine3)/12 (4/9)^(n-2)
...
A2=A1 + (racine3)/12 (4/9)
A1=A0 + (racine3)/12 (4/9)^(0)=A0+(racine3)/12

en sommant ses égalité coté par coté on obtient :

A(n)+A(n-1)+...+A1 = A(n-1)+...+A1 + (racine3)/12 (4/9)^(n-1) +...+(racine3)/12 (4/9) + (racine3)/12

après on on factorise par (racine3)/12 et on trouve ce qu'on veut :
An= A0 + (rac3)/12 (1+ 4/9 +(4/9)²+...+(4/9)^(n-1) )

[sousoushi]

pour la deduction peut on utiliser le fait que An est arithmetique ( d apres la demonstration) ?

[sousoushi]

merci maintenant il me reste une derniere question la limite de An merci pour votre aide