Espace vectoriel

[spitfire378]

Bonsoir a tous, pouvez m'aider pour cet exercice?

Dans le R espace vectoriel R^4 soit U le sous espace engendré par les vecteurs (1,2,3,1) et (0,1,1,0), V le sous-espace engendré par (1,2,4,2) et (0,1,2,2) et W le sous-espace engendré par (3,4,7,2) et (2,2,4,1)

1. Calculer les réels x et y que le vecteur (x,y,2,8) appartienne a V
2. Déterminer les intersections U et V ainsi que U et W
3. Déterminer les sommes U+V et U+W. Parmi ces sommes, lesquelles sont directes?
4. Déterminer une base de U+W

1. Je trouve x=-3 et y=1

2. Les deux intersections me donnent (0,0,0,0)

Mais la 3 et la 4 je n'y arrive pas si vous pouviez m'aider.

[fahr451]

bonsoir as tu fait le cours sur la dimension et relation de grassmann?

[spitfire378]

Et bien non, j'ai en effet constaté qu'on pouvait utilisait le dim(U+V) pour déterminer U+V mais on l'a pas encore vu en cours, je ne vois pas comment faire.

[fahr451]

dans ce cas :

en recollant une base de U à une base de V on obtient toujours une famille B génératrice de U+V

ensuite il faut regarder si cette famille B est libre ou non (tu dois savoir faire cela)

si lafamille B est libre c'est une base de U+V et ici U+V = R^4

si la famille B est liée tu dois être capable sans refaire de calculs d'extraire de B une famille B ' libre de cardinal maximal

B' est alors une base de U+V

rem :en admettant que tes calculs sont justes ( ?)
U inter V = {0} donne exactement que B est libre .