Polynômes

[Pythix]

Bonjour,
voici mon problème :
pour tout entier naturel non nul, on définit

1. Quel est le degré de Q ? n.
2. Déterminer ses racines et le factoriser dans R[X].
-> avec les racines n-ièmes de l'unité, on arrive à



3. Montrer que

là d'un coté j'arrive à factoriser ce qu'il faut avec au lieu de (-1)^k, mais de l'autre j'arrive pas à transformer le produit pour obtenir les carrés...

4. En déduire puis

5. Pour tout x de établir
En déduire un encadrement de puis de

Merci d'avance pour toute aide...

[fahr451]

bonjour
une remarque n écris pas X = cotan ca X est un polynôme
n = 2r+1 le polynôme est de degré 2r il y a 2r racines qui sont opposées 2à 2


cotan [((2r+1) -k) ]pi /(2r+1)] = - cotan[ kpi/(2r+1)]

d'où le groupement deux à deux des racines et

des termes en (X-a)(X+a) = X^2 -a^2 avec a = cotan

[Pythix]

je ne suis pas tout,
on pose n=2r non ?
puis avec les racines opposées ...

[fahr451]

n = 2r oui

et 2r racines 2 à 2 opposées

[Pythix]

mais je ne vois pas comment on passe de ces 2r racines opposées à
cotan [((2r+1) -k) ]pi /(2r+1)] = - cotan[ kpi/(2r+1)]

et la généralisation...

[Pythix]

quand je factorise avec le binome je trouve :



le 2i ne se simplifie pas...

[Pythix]

je ne vois pas trop pour

[tralala]

moi j'ai utilisé la forme a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+...+b^(n-1) pour simplifier les 2i. Pour obtenir le (-1)^k il faut expliquer que lorsque les k sont pairs la somme est nulle et lorsqu'ils sont impairs et bien ont a: i^2k=(-1)^k. Pour ton encadrement j'étudierai betement les fonctions sin et cotan sur l'intervalle. Par contre je vois pas du tout pour les racines de Q. Comment les as tu trouvées?

[Pythix]

faut se ramener aux racines de l'unité.