Défi 38

par **Imod** » 15 Fév 2007, 19:09

Bonjour à tous .

Un petit défi qui nest pas sans rappeler les sangakus japonais . Un triangle

et un entier

donnés , on considère :

,

, ... ,

points de

, de façon à ce que les diamètres

des cercles inscrits dans

,

, ... , soient égaux . Dans

, on note

la hauteur issue de

et

le diamètre du cercle inscrit . Exprimer

à l'aide de

,

, et

.

Une illustration avec

:

Le résultat est très simple et la solution courte , mais il faut avoir la bonne idée .

Bon courage !

Imod

par **mathelot** » 16 Fév 2007, 00:09

hello,
tous les petits triangles ont la même hauteur. On calcule leur aire
Et puis, il doit y avoir une relation entre le rayon du cercle inscrit et l'aire
ie, S=pr avec p le demi-périmètre ? :id:

par **Imod** » 16 Fév 2007, 00:47

mathelot a écrit:hello,
tous les petits triangles ont la même hauteur. On calcule leur aire
Et puis, il doit y avoir une relation entre le rayon du cercle inscrit et l'aire
ie, S=pr avec p le demi-périmètre ? :id:

Tu risques de peiner avec les demi-périmètres : la solution est simple mais pas l'idée qui l'induit .

Imod

PS : Je suis né à Enghien-les-bains et j'ai passé mes cinq premières années à Franconville , mais tout celà c'est la préhistoire :we:

par **maf** » 16 Fév 2007, 13:31

J'ai essayé de jouer avec le fait que les angles entres les centres des cercles et les points de tangences se rapportent 2 à 2 entres les petits cercles ... et que les 2 petits cercles d'extrémité ont les mêmes angles que le grand ...

Mais ... j'aboutis à pas grand chose :briques:

par **Imod** » 16 Fév 2007, 18:33

Une petite aide pour démarrer ce défi .

Dans le grand triangle

, on peut exprimer

à l'aide de

et

(en utilisant les différentes formules d'aire ) .

La suite est magnifique !

Imod

par **Imod** » 18 Fév 2007, 01:41

Je donne la réponse à l'indice fourni , pour ceux qui veulent essayer de le justifier et surtout pour ceux qui verront ce qu'on peut en tirer :

Imod

par **Imod** » 21 Fév 2007, 20:13

Dernier indice :

Quelles égalités donne la dernière relation si on l'applique à chacun des triangles contenant un petit cercle ? Qu'obtient-on en multipliant ces égalités entre-elles ?

Imod

par **Imod** » 22 Fév 2007, 18:58

Une solution .

On note :

,

et

le rayon et le diamètre du cercle inscrit dans

et

l'aire de

.

On a :

donc

.

donc

Alors :

.

.

En effet , les angles

et

sont complémentaires donc

. Et comme

, on a le résultat .

Appliquons maintenant la formule précédente à

et chacun des petits triangles

,

, ... :

Imod

Défi 38

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re

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