Arithmétique

[jadis]

Bonjour à tout le monde.
Voilà, je rame sur un exercice dont voici l'énoncé:

Soient a et b deux entiers naturels premiers entre eux. On pose:
X={au+bv; u,v } et Y = \ X

Il est demandé de montrer que Y' = Y est fini.

Et le problème, c'est que je ne vois pas comment Y' peut être fini.
Par exemple, pour a=3 et b=5, on a X = {0,3,5,8,11,13,15,...}, non?
Donc Y = {tous les entiers strict. négatifs,1,2,4,6,7,9,...} et Y'={1,2,4,6,7,...}.

Je n'ai pas dû comprendre l'énoncé... Suis-je en train de faire une erreur idiote? Si quelqu'un peut me mettre sur la voie, ça serait sympathique.

Merci d'avance

[jadis]

Petite précision, j'ai réussi à montrer 2 choses, qui ne m'aident en rien, mais bon...

Tout d'abord, pout tous éléments x et x' de X, leur somme appartient également à X.

Ce qui m'a entrainé sur l'étude de l'ensemble X'={au+bv; u,v } qui est un idéal propre de .

Mais je n'avance pas...

[yos]

En fait X contient tous les entiers naturels à partir d'un certain entier M.
Le mieux qu'on puisse faire est de prendre M=(a-1)(b-1). Mais c'est peut-être plus facile de prendre M=ab.

[jadis]

Désolé, Yos, je ne comprends pas. Cela signifie que u et v doivent être non nuls dans l'énoncé?
Car, si on prend u=0 et v=1, ou u=1 et v=0, on voit bien que a et b sont dans X, non? Donc, c'est min(a,b) qui est le plus petit élément de X...

Et biensûr, j'oublie 0 pour u=v=0. :marteau:

[jadis]

Désolé, je viens de comprendre ce que tu as dis... Je suis un peu long à la détente en ce moment...

D'accord, je dois alors tout d'abord montrer que X contient certains entiers, puis tous à partir d'une certaine valeur donc forcément Y' est fini.
Merci, je vais essayer de montrer ça.

[yos]

Il y a plusieurs façons.
Partant d'un entier m>0, il existe x et y entiers (relatifs) tels que ax+by=m.
Mais on peut remplacer (x,y) par (x+kb, y-ka) pour n'importe quel entier k. Il s'agit que k permette d'avoir x+kb et y-ka positifs.
On peut en déduire une condition sur m.

[aviateurpilot]

et

on a donc
il est clair que et ont des signes opposés.
sans perdre de generalité on peut supposer que et .
donc .
donc tel que
donc (car ).

donc contient tous les entier superieur à
par suite est majoré par
en fin est majoré par et monoré par
C/c:

[yos]

J'achève ce que j'avais proposé :
.
.
Il suffit donc que l'intervalle contienne un entier (pour avoir ).
Il suffit donc que .
Et cette dernière condition quivaut à .
Ainsi tous les entiers à partir de ab sont dans X.

Comme je le signalais plus haut, on peut faire mieux : tous les entiers à partir de (a-1)(b-1) sont dans X. Et là c'est optimal car on voit assez facilement que.

[jadis]

Petites précisions pour aviateur:

il est clair que u et v ont des signes opposés.

Hormis les cas particuliers où (a ou b) est égal à 1, non? Mais il est alors évident que X contient tous les entiers naturels.

sans perdre de generalité on peut supposer que et

Là, je ne saisis pas tout à fait...
Pour moi, il faut alors étudier en parallèle les 2 cas... Ou étudier 1 des 2 cas et montrer que l'autre est équivalent.

Yos, en ce qui concerne ta méthode, je l'ai bien saisie mais a-t-on vraiment le droit de parler de quotient ou de fractions dans ce genre d'exercices?

(Désolé si je pose des questions qui peuvent paraître bêtes ou que je précise des choses qui vous paraissent évidentes mais j'ai vraiment du mal dans ce domaine des maths).

Je vous fais part de ma méthode dès qu'elle tiendra la route.
Merci en tout cas.