Espaces Vectoriels

[spitfire378]

Bonsoir a tous, Je souhaiterai être guidé a travers cette exercice, j'ai bien un cours, mais peu claire...

Dans le R espace vectoriel R^2 on considère les vecteurs:
u=(1,3), v=(-1,1), w=(2,6).

1. Parmi les familles (u), (u,v), (v,w), (u,w), (u,v,w), lesquelles sont libres?
2. Parmi les familles de la question précédente, lesquelles sont des bases de R^2?
3. Soit U le sous espace engendré par u et V le sous espace engendré par v. Déterminer la somme U+V

1. Pour vérifier que le vecteur est libre il s'agit de trouver que V?Oe il me semble, mais pareil je ne vois pas comment l'appliquer.

2. Pour dire qu'elles sont des bases il faut déterminer qu'elles sont a la fois libres et génératrice. Encore un "mais", pouvez vous mieux m'expliquer ce terme "génératrice"

3. Ca je crois pouvoir maitriser, mais si vous avez des tuyaux a me donner, je suis preneur.

Voila merci d'avance pour votre aide. :we:

[Nightmare]

Bonsoir

Pour le 1) Il faut revenir à la définition d'une famille libre :

Une famille est libre si et seulement si elle n'est pas liée, c'est-à-dire si et seulement si on ne peut trouver une combinaison linéaire des vecteurs de la famille nulle.

(u) est libre vu que u n'est pas le vecteur nul

Soient deux scalaires x et y tels que x.u+y.v=0
Que peux-tu dire de x et y ? Donc que peux-tu dire de la famille (u,v)?
Même chose pour (u,w)

(u,v,w) ne peut être libre. En effet, R² est un R-ev de dimension 2, donc toute famille libre de R² a au plus 2 éléments (résulte du théorème de l'échange)

2. Là c'est direct en utilisant le résultat :

Toute famille libre et de cardinal égal à la dimension de l'ev. est génératrice.

[Nightmare]

Pour la 3. il faut se rappeler de la propriété :

[spitfire378]

Merci Beaucoup Nightmare (Moui j'ai fait un doublon sur un autre forum pour élargir mes chances d'avoir une réponse)

[spitfire378]

Pour la 3. J'ai U sous espace engendré par u et V le sous espace engendré par v.

La définition étant F+G ={z€E / z=x+y / x€F et y€G}

Ca revient a dire que U+V=(1-1) + (3+1) = 4 non?

[Nightmare]

Re bonsoir

U est l'ensemble
V est l'ensemble
U+V est donc l'ensemble , c'est-à-dire U+V=Vect((u,v))

[Nightmare]

Oups, erratum.

U+V est l'ensemble