Une unité de longueur étant coisi on considère un cercle C de rayon 1 dont on note O le centre.Son périmètre est donc 2pi et son demi-périmètre pi.
L'idée d'archimède est dencadrer ce cercle par des polygone régulier a 3*2^n cotés.
On notera Pn le polygone interieur a 3*2^n cotés,pn son demi périmètre;Qn le polygone extérieur a 3*2^n cotés et qn son demi périmètre.On admet que tout polygone régulier inscrit dans un cercle a un périmètre inférieur a celui du cercle et tout polygone régulie circonscrit a un cercle a un péérimètre plus grand que lui.On aura donc pour tout n>0,pn<pi<qn.On sinterdira bien sur dutiliser la touche pi de la calculatrice...
1)Conjecture:Quelles conjectures pouvez vous faire sur les suites (pn) et (qn)
(sa jlai dja fait)
2)etudes des polygones intérieurs:Construction des polygones Pn:P0 est un triangle équilaterale(nommé ABC).Pour construire lhexagone P1(nommé ADBECF) a partir du triangle ABC on a ajouté les sommets F,D et E,seconds poin dintersection du cercle avec les médiatrices des cotés du triangle ABC.Chaque polygone Pn engendrera de même le polygone P(n+1).
figure 1:
a)Calculer c0 puis p0 (attention:pn est le demi périmètre de Pn et cn la longueur de son coté)(sa jlai dja fait)
b)justfier géométriquement que la suite (pn) est croissante.Pourquoi est(elle convergente?(sa jlai dja fait)
c)Exprimer pn en fonction de cn et montrer que la suite (cn) converge vers 0.
cette question jen suis pas sure mais jai mis que :pn=0,5cn et comme (pn) converge vers 0 alors sa fait:0=0,5*cn et (cn) converge vers 0.
d)Sur la figure 2,les points R et S sont 2 sommets consécutifs du polygone Pn,les points R,T et S sont 3 sommets consécutifs de P(n+1) et donc (OT) est la médiatrice de [RS].On note H le milieu de [RS],H' le milieu de [RT] et V le point diamétralement opposé a T sur le cercle C.
figure 2:
Notons an lapothème de Pn,cest a dire la distance de O a un coté de Pn.
On a donc OH=an,Oh'=a(n+1),RS=cn et RT=c(n+1)
Montrer que les triangle VHR et OH'T sont semblables.(Je vois ce que sa veut dire semblables,enfin je crois mais je ne sais plus comment démontrer cela pouvez vous maidez silvouplait?)
En déduire que: a(n+1)=racine[(1+an)/2]
,[c(n+1)]/cn=1/(2a(n+1)
puis que [p(n+1)]/pn=1/[a(n+1)]
(alors là jen ai trouvé aucun c'est trop dur je ne vois mm pas comment faire c'est là que jai vraiment besoin daide silvouplait)
3)Etude des polygones exterieurs:On conduit R' et S' sur [OR) et [OS) tels que (R'S') soit tangentes e T au cercle C.
figure3:
a)Justifier que (RS) est parrallèle a (RS) et en déduire que R'S'/RS=1/an
(est-ce quil faut utiliser thalèes pour cela car jai essayer mais jai rien trouver de laide snif
)b)Montrer que [R'S'] est bien le coté dun polygone régulier Qn circonscrit au cercle C et dont le demi-périmètre est qn=pn/an
(alors là jai rien trouvé du tout jai pas compris comment faire)
c)En déduire que [q(n+1)]/qn=2an/(1+an)
(les égalités jai pas trouvé comment faire car jai essay thalès mais sa marche pas du tout!snif
besoin daide je comprend pas)Montrer quelle converge(sa je saurais le faire)
voilà cest fini merci pour tout aide car jen ai vraiment beoin jai chercher pendant des heures ,des apres-midis entières mais je ny arrive pas....
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