Nombres complexes

[marie16]

Bonjour,

j'ai un exo sur les nombres complexes et, je n'arrive pas à le terminer.

Voilà l'énnoncé:

C désigne l'ensembles des nombres complexes.
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct d'unité graphique : 3cm.

On considère l'application f de l'ensemble des nombres complexes dans lui-même définie par :
f(z)=iz+2
(i étant le nombre complexe de module 1 et d'argument )

1)
a)Calculer f(1).
b) Placer dans le plan P les points A et A' d'affixes respectives 1 et f(1).

2)
a)On appelle la solution de l'équation : z=f(z)
Déterminer algébriquement puis calculer son module et un de ses arguments.
Placer le point B d'affixe dans le plan P.

b) Comparer les longueurs BA ET BA'.
Que peut-on en déduire pour le triangle BAA'.
Calculer la longueur AA'. Quelle est en conclusion la nature du triangle BAA'?

3) Soit z=x+iy avec x et y réels.
a) Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de f(z)
b) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que f(z) soit réel. Tracer .
c) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que f(z) soit imaginaire pur. Tracer .
d) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que = 2. Tracer .

4) Calculer puis résoudre dans Cl'équation d'inconnue z: f(z)=i(z-z²).

Voilà le début de ma réponse:

1)
a) f(1)=i*1 +2
f(1)=i+2

2) a)
z = f(z) = iz +2
z -iz = 2
z(1-i)=2
z=2/(1-i)=(2(1+i))/((1-i)(1+i))=(2(1+i))/(1-i+i-i²)=(2(1+i))/(1+1)
z=1+i




ou


ou

J'en déduis:

b) BA=1 et BA'=1 donc BA=BA'
J'en déduis que le triangle BAA' est isocèle car il a 2 côtés de même longueur.

Dist AA':
z=1 (affixe du point A)
f(1)=i+2 (affixe du point A')

f(1)-z=i+2-1=i+1



BA²+BA'²=1²+1²
BA²+BA'²=2=
BA²+BA'²=AA'²
Grâce au théorème de Pythagore, j'en déduis que le triangle BAA' est également rectangle en B.

3)a) f(z)=i(x+iy)+2
f(z)=ix+i²y+2=ix-y+2
Soit a la partie réelle et b la partie imaginaire
a=-y+2 et b=ix

b) Pour que f(z) soit réel, il faut que f(z)=-y+2 et donc:
ix=0
x=0

c) Pour que f(z) soit imaginaire pur, il faut que f(z)=ix et donc:
-y+2=0
y=2

Bon, voilà mes réponses.
A partir du n°3, je pense que je me trompe. Je ne sais pas comment représenter les ensemble E sur le graphique et, je n'arrive pas à finir l'exercice.

J'aimerais donc avoir votre avis sur ce que j'ai fait et un coup de pouce pour la fin de l'exo, merci.

[Charlotte59]

slt,

x=0 càd z appartient à l'axe des ordonnées

et y=2 càd z appartient à une droite parallèle à l'axe des abcisses, passant par le point (0, 2)

f(z)=ix-y+2
|f(z)| = 2 càd sqrt(x²+(-y+2)²) = sqrt(x²+4-4y+y²) = 2...

[marie16]

ok, merci.

Par contre, pour le 3)d), lorsque je dévelloppe, j'ai:

4=x²+4-4y+y²
4-4=0=x²-4y+y²

Je n'arrive pas à voir comment trouver l'ensemble E3. Je ne tombe pas sur une équation du second degré?!...

[Charlotte59]

A mon avis, c'est l'équation d'un cercle,

0 = x²-4y+y² = (x-0)² + (y-2)² - 4
d'où (x-0)² + (y-2)² = 2²

càd : M(x, y) appartient au cercle de centre (0, 2) de rayon 2.

normalement c ça si tu as vu les équations de cercle