Suites homographique

par **damusss** » 16 Fév 2007, 14:45

j'ai un petit probleme
voila j'ai une suite définie par: pour tout n entier U(n+1)= a+b/(Un) avec a et b réels strictement positif et on définie la fct f:x-> a+b/x

on me dit que U0 apparrtient a l'intervalle ]0;c[ ou c désigne la plus grande solution de l'équation f(x)=x et on me demande de démontrer que les suites U(2n) et U(2n+1)sont monotones de monotonie contraires.

J'ai déja trouver le signe de f(f(x))-x et je pense que je doit l'utiliser mais je ne voit pas comment! Pourriez vous m'aider?

par **fahr451** » 16 Fév 2007, 14:57

bonjour

f est décroissante sur R+ et R+ est stable par f

f°f est donc croissante sur R+

cela prouve que les suites extraites u(2n) et u(2n+1) sont monontones

par exemple si u(0) =si u(0)>=u(2) u(2n) décroit

puis u(2n+1) = f (u(2n) ) comme f décroit, a la monotonie inverse de u(2n)

par **damusss** » 16 Fév 2007, 16:56

ok merci c plus simple apres :we:

par **damusss** » 16 Fév 2007, 19:21

euh en fait non pas si évident que sa :briques:
comment montre ton la monotonie de U(2n) et U(2n+1) rien qu'en sachant que f°f est croissante?????
Dans mon cours on avait marqué recurrence immédiate mais je ne trouve pas ca si immédiat :hum:

par **fahr451** » 16 Fév 2007, 19:42

ds le cas où u(2)>=u(0)

par récurrence
u(2n) >=u(2n-2)
on le suppose pour n et ensuite on prend l image par f°f croissante on a

f°f(u(2n))>=f°f(u(2n-2) soit u(2n+2)>=u(2n)et
u(2n) croissante

par **damusss** » 17 Fév 2007, 11:43

merci c plus clair!!! :id:

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