A propos du théorème de Kurz Gödel

par **fraggy** » 12 Fév 2007, 11:40

Amis mathématiciens, bonjour !

Je suis philosophe, et je travaille sur la philosophie de Hegel. Celle-ci, dans la ligne du néoplatonisme, se pose en particulier le problème des repports de la limite avec l'ensemble qu'elle limite; C'est ainsi que j'en suis venu à m'intéresser au théorème dit d'incomplétude, de Gödel. Malheureusement, je ne parviens pas à comprendre les (deux ?) énoncés de ce théorème, que je me contente alors de comprendre à travers un penseur des religions, Régis Debray. Celui-ci décrit la loi d'incomplétude comme ceci : "Un tout ne peux se compléter lui-même". Autrement dit, la limite est toujours extérieure à ce qu'elle limite.

Voici mes questions :
1) Cet énoncé compréhensible par les non-mathématiciens est-il recevable ? Et en quoi peut-il bien différer des énoncés authentiques ?
2) Un mathématicien compréhensif aura-t-il la patience (d'essayer de) de m'expliquer les énoncés authentiques du théorème de Gödel ?

Avec mes remerciements...

par **mathelot** » 12 Fév 2007, 12:54

bonjour,

Au début du 20ième siècle, david Hilbert souhaitait formaliser l'intégralité des mathématiques. kurt Gödel a montré que l'arithmétique (et donc toute théorie l'englobant, c'est à dire la mathématique toute entière) souffre d'incomplétude.
Le résultat de kurt Gödel s'exprime ainsi. Pour tout système d'axiomes, il y a une proposition indécidable. Soit, on ajoute aux axiomes de base , cette proposition et son contraire et l'on obtient un système contradictoire (pas bon !) ou l'on rajoute la proposition indécidable aux axiomes de base et, relativement au nouveau système d'axiomes, il y a de nouvelles propositions indécidables..
on énonce souvent: toute théorie qui englobe l'arithmétique est soit inconsistante, soit incomplète.

Techniquement, Gödel a associé à toute assertion déduite d'un système d'axiomes un entier, son nombre de Gödel et a réussi à transformer des méta-propriétés en expressions arithmétiques. Il a ainsi donné un algorithme
pour construire des assertions arithmétiques indémontrables. Il existe actuellement des problèmes arithmétiques très simples (les arbres de Kruskal par exemple) dont a démontré qu'ils sont ..indémontrables.

par **fraggy** » 12 Fév 2007, 13:15

Au début du 20ième siècle, david Hilbert souhaitait formaliser l'intégralité des mathématiques. kurt Gödel a montré que l'arithmétique (et donc toute théorie l'englobant, c'est à dire la mathématique toute entière) souffre d'incomplétude.
Le résultat de kurt Gödel s'exprime ainsi. Pour tout système d'axiomes, il y a une proposition indécidable. Soit, on ajoute aux axiomes de base , cette proposition et son contraire et l'on obtient un système contradictoire (pas bon !) ou l'on rajoute la proposition indécidable aux axiomes de base et, relativement au nouveau système d'axiomes, il y a de nouvelles propositions indécidables..
on énonce souvent: toute théorie qui englobe l'arithmétique est soit inconsistante, soit incomplète.

Si je comprends bien, il y a toujours un reste une sorte de point de vue qui ne peux s'intégrer à l'ensemble qu'il englobe ? Si on l'intègre dans le système de base, on crée un système contradictoire insupportable, et si l'on admet la proposition indécidable dans le système, c'est alors tout le nouveau système qui devient indécidable. La contradiction ou le vide ?

Si j'ai pu saisir à peu près (vous me direz si ma traduction est correcte), ce que vous m'expliquez dans cette première partie de votre réponse, la seconde est pour moi, pardonnez mon ignorance, totalement sybilline, je n'ai par exemple jamais compris ce qu'était un algorithme ! :briques:

par **mathelot** » 12 Fév 2007, 14:15

fraggy a écrit:c'est alors tout le nouveau système qui devient indécidable.

La théorie ne peut être complétée. Elle comprend toujours une proposition indécidable, une proposition dont on ne peut établir la valeur de vérité.
c'est une impossibilité que l'on peut qualifier d'ontologique. ça vient du fait que l'arithmétique (en particulier, simplement le fait tout simple de compter) intervient à tout niveau de la logique, à la fois dans la théorie englobée et dans la théorie englobante (la méta-théorie).

par **fraggy** » 12 Fév 2007, 15:12

Bien, merci, mais peut-on, en mathématiques, poser la question du "pourquoi" ? Pourquoi cet indécidable ?

par **mathelot** » 12 Fév 2007, 16:10

bof, parce que c'est comme ça. sinon, expliciter le "pourquoi" devient une question technique. Il faut se plonger dans la démonstration de Gödel.
grosso modo, il a repris le paradoxe du menteur.

par **mathelot** » 15 Fév 2007, 11:05

en tous cas, il est possible de consulter le lien:
http://membres.lycos.fr/godel/

A propos du théorème de Kurz Gödel

A propos du théorème de Kurz Gödel

Qui est en ligne