Questions D'Arithmètique

[Haexyrus]

Bonjour,

Bon, voilà l'exos :

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Soit n un entier naturel

1/ Développer (1-x)(1+x+x^2+x^3)

2/a) Montrer que 2^12 - 1 est divisible par 7
b) Montrer que 2^3n - 1 est divisible par 7 pour tout n non-nul
c) Déduire les restes de la division par 7 des puissances de 2
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J'ai tout résolu SAUF pour 2/c), merci de bien vouloir m'aider

[Clembou]

Bonjour,

Bon, voilà l'exos :

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Soit n un entier naturel

1/ Développer (1-x)(1+x+x^2+x^3)

2/a) Montrer que 2^12 - 1 est divisible par 7
b) Montrer que 2^3n - 1 est divisible par 7 pour tout n non-nul
c) Déduire les restes de la division par 7 des puissances de 2
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J'ai tout résolu SAUF pour 2/c), merci de bien vouloir m'aider

Donc




Les restes possible de la division par 7 des puissances de 2 sont 1, 2, et 4

[Haexyrus]

Hum, pas bête, merci pour votre aide :++:

[Haexyrus]

Une autre question, toujours dans l'arithmètique:

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Un entier naturel n, supérieur à 150, admet pour reste 12 et pour quotient q dans la division euclidienne par 13; il admet pour reste r et pour quotient q donc la division euclidienne par 14.

Détérminez les valeurs possibles de n.
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J'ai essayé de le faire indépendemment de la deuxième hypothèse:

On a n > 150
<=> 13q + 12 > 150
<=> 13q > 138
<=> q > 138/13 (10,61...)

après, j'ai pensé à remplacer q dans n = 13q + 12 par les valeurs possibles de q, commençant par 11, et puis vérifier les valeurs de n obtenues dans l'équation = 14q + r pour m'arréter quand r sera supérieure à 14, mais je ne sais si c'est juste

Merci d'avance

[Clembou]

Une autre question, toujours dans l'arithmètique:

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Un entier naturel n, supérieur à 150, admet pour reste 12 et pour quotient q dans la division euclidienne par 13; il admet pour reste r et pour quotient q donc la division euclidienne par 14.

Détérminez les valeurs possibles de n.
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J'ai essayé de le faire indépendemment de la deuxième hypothèse:

On a n > 150
13q + 12 > 150
13q > 138
q > 138/13 (10,61...)

après, j'ai pensé à remplacer q dans n = 13q + 12 par les valeurs possibles de q, commençant par 11, et puis vérifier les valeurs de n obtenues dans l'équation = 14q + r pour m'arréter quand r sera supérieure à 14, mais je ne sais si c'est juste

Merci d'avance

Cela revient à un système de congruence :


r n'est pas fixé ? sinon

[Haexyrus]

Un système de congruence ? Heu, c'est quoi exactment ?

r n'est pas fixé dans la division par 14 oui, mais dans la division par 13, le reste est de 12.

Aussi, pourriez-vous m'expliquer le Latex que vous avez utilisé dans votre dernier message SVP ?

Thx