Problème de géométrie complexe

[DarkTonton]

Bonjour, je suis nouveau ici, je suis en terminale S et je viens du Nord.
Voici l'exercice qui me pose problème: le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct. les affixes des points sont désignées par les lettres minuscules correspondantes. on considère un quadrilatère convexe ABCD et les triangles rectangles isocèles directs MAB en M, NBC en N, PCD en P et QDA en Q.
1) exprimer m,n,p et q en fonction de a,b,c et d.
2) démontrer que MP=NQ et que (MP) est orthogonale à (NQ).
3) soit K,L,U et V les milieux respectifs de [AC],[BD],[MP] et [NQ].
a) exprimer m+p et n+q en fonction de k et l. en déduire que MNPQ est un parallélogramme si et seulement si ABCD est un parallélogramme.
b) on suppose que ABCD n'est pas un parallélogramme. montrer que ULVK est un carré.
Merci d'avance pour votre aide.

[annick]

Bonjour,
Et toi, tu as déjà fait quoi? Car il est plus facile de travailler avec toi en te corrigeant qu'en te donnant des réponses toutes faites

[DarkTonton]

en utilisant la formule des rotations, je dis que b-m = (cos Pi/2 + i sin Pi/2)(a-m) et après avoir fais les calculs je trouve m= (b [1-(Racine2)/2 +i (Racine2)/2] + a[1-(Racine2)/2 -i (Racine2)/2] )/ (2-racine2)
mais ça me parait super compliqué, est-ce que c'est possible?
et comme c'est toujours des rotations d'angles Pi/2
on trouve la même chose pour n, en remplacant b par c et a par b
pour q, en remplacant b par d et a par c dans l'écriture de m
pour p, en remplacant b par a et a par d dans l'écriture de m
Dites moi si c'est possible

[annick]

la méthode me semble bonne, mais dis donc cos pi/2=0 et sin pi/2=1 (les V2/2, c'est relatif aux multiples de pi/4 !!!)
De plus, n'as-tu pas encore vu que cosx+isinx=e^(ix)? C'est la notation exponentielle qui est plus pratique à manier, mais peut-être ne le verras-tu que bientôt)

[DarkTonton]

tu as raison, je suis bête, cos Pi/2 = 0 et sin Pi/2 =1
donc b-m=i (a-m), d'où m= (b+ib-ia+a)/2

[annick]

oui, ça me paraît juste, mais il faut juste que tu regroupes les parties réelles et imaginaires si tu veux t'y retrouver après :

m=1/2((a+b)+i(b-a))

[DarkTonton]

Ok, je vais faire les mêmes calculs pour trouver n,p et q.
ensuite, pour trouver que MP=NQ, je pensais faire le calcul du module de p-m puis celui de q-n, voir si on trouve la même chose.

[DarkTonton]

j'ai prouver que MP=NQ grâce à leur modules, mais je ne vois pas comment prouver que (MP) et (NQ) sont orthogonales.
Sinon, j'ai déjà fais la question suivante, à savoir: m+p=k+l+i(l-k) et n+q=k+l+i(k-l) puis j'ai bien MNPQ parallélogramme si et seulement si ABCD parallélogramme.
Donc, il faudrait me donner une piste pour que je puisse prouver l'orthogonalité des deux droites (MP) et (NQ).
merci

[annick]

on cherche Z=(p-m)/(q-n) . Donc arg Z=angle orienté(NQ,MP)
Or si on fait le calcul de Z, on voit que la partie réelle s'annule donc arg Z=pi/2 et (NQ,MP)=pi/2